Kapsel (Geometrie)

Links eine zweidimensionale Orthogonalprojektion, rechts eine dreidimensionale, die eine Kapsel darstellt

Eine Kapsel (von lateinisch capsula ‚kleine Kiste oder Truhe‘) oder ein Stadium der Drehung ist eine dreidimensionale geometrische Grundfigur, die aus einem Zylinder mit halbkugelförmigen Enden besteht.^[1] Ein anderer Name für diese Form ist Sphärozylinder.^[2][3][4][5] Es kann auch als Oval bezeichnet werden, obwohl die Seiten (vertikal oder horizontal) gerade parallel sind.

Verwendungen

Die Figur wird für einige Objekte verwendet, wie Druckbehälter, Fenster von Orten wie einem Jet, Softwareknöpfe, Gebäudekuppeln (wie das Innere des US-Kapitols, bei dem die Fenster des Zylinders, die die Apotheose von Washington darstellen, das Aussehen der Figur hat, platziert in einem omnidirektionalen Muster), Spiegel und pharmazeutischen Kapseln.

In Chemie und Physik wird diese Figur als Grundmodell für nicht sphärische Teilchen verwendet. Sie erscheint insbesondere als Modell für die Moleküle in Flüssigkristallen^[6][3][4] oder für die Teilchen in granularer Materie^[5][7][8].

Formeln

Das Volumen ${\displaystyle V}$ einer Kapsel errechnet sich aus der Addition des Volumens einer Kugel mit Radius ${\displaystyle r}$ (das die beiden Halbkugeln ausmacht) zum Volumen des zylindrischen Teils. Daher gilt, wenn der Zylinder die Höhe ${\displaystyle h}$ hat,

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}+(\pi r^{2}h)=\pi r^{2}\left({\frac {4}{3}}r+h\right)}$.

Die Oberfläche ${\displaystyle A}$ einer Kapsel mit Radius ${\displaystyle r}$, deren Zylinderteil die Höhe ${\displaystyle h}$ hat, ist

${\displaystyle A=4\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(2r+h)}$.

Verallgemeinerung

Eine Kapsel kann äquivalent als Minkowski-Summe einer Kugel mit Radius ${\displaystyle r}$ mit einer Strecke der Länge 𝑎 beschrieben werden.^[5] Durch diese Beschreibung können Kapseln direkt als Minkowski-Summen einer Kugel mit einem Polyeder verallgemeinert werden. Die resultierende Figur wird Sphäropolyeder genannt.^[7][8]

Ähnliche Figuren

Eine Kapsel ist die dreidimensionale Figur, die erhalten wird, indem das zweidimensionale Stadium um die Symmetrielinie gedreht wird, die die Halbkreise halbiert.

Einzelnachweise

1. Dipankar Sarkar, N. J. Halas: General vector basis function solution of Maxwell’s equations. In: Physical Review E. 56. Jahrgang, 1, part B, 1997, S. 1102–1112, doi:10.1103/PhysRevE.56.1102 (englisch). 
2. Taro Kihara: The Second Virial Coefficient of Non-Spherical Molecules. In: Journal of the Physical Society of Japan. 6. Jahrgang, Nr. 5, 1951, S. 289–296, doi:10.1143/JPSJ.6.289 (englisch). 
3. Daan Frenkel: Onsager’s spherocylinders revisited. In: Journal of Physical Chemistry. 91. Jahrgang, Nr. 19, 10. September 1987, S. 4912–4916, doi:10.1021/j100303a008 (englisch). 
4. Joachim Dzubiella, Matthias Schmidt, Hartmut Löwen: Topological defects in nematic droplets of hard spherocylinders. In: Physical Review E. 62. Jahrgang, Nr. 4, 2000, S. 5081–5091, doi:10.1103/PhysRevE.62.5081, PMID 11089056, arxiv:cond-mat/9906388, bibcode:2000PhRvE..62.5081D (englisch). 
5. Lionel Pournin, Mats Weber, Michel Tsukahara, Jean-Albert Ferrez, Marco Ramaioli, Thomas M. Liebling: Three-dimensional distinct element simulation of spherocylinder crystallization. In: Granular Matter. 7. Jahrgang, Nr. 2–3, 2005, S. 119–126, doi:10.1007/s10035-004-0188-4 (englisch). 
6. Lars Onsager: The effects of shape on the interaction of colloidal particles. In: Annals of the New York Academy of Sciences. 51. Jahrgang, Nr. 4, Mai 1949, S. 627–659, doi:10.1111/j.1749-6632.1949.tb27296.x (englisch). 
7. Lionel Pournin, Thomas M. Liebling: A generalization of Distinct Element Method to tridimensional particles with complex shapes. International Conference on Powders & Grains 2005, Stuttgart, Germany, 18-22 July 2005. In: Powders and Grains 2005 Proceedings vol. II. A. A. Balkema, Rotterdam, 2005, S. 1375–1378 (englisch, epfl.ch). 
8. Lionel Pournin, Thomas M. Liebling: Research Trends in Combinatorial Optimization. Hrsg.: William Cook, László Lovász, Jens Vygen. Springer, Berlin, 2009, ISBN 978-3-540-76795-4, From spheres to spheropolyhedra: generalized Distinct Element Methodology and algorithm analysis, S. 347–363, doi:10.1007/978-3-540-76796-1_16 (englisch).