Bjørnstad studierte in Oslo, London und Paris klassisches Klavier. Bereits im Alter von 16 Jahren spielte er mit dem Philharmonischen Orchester Oslo Béla Bartóks 3. Klavierkonzert. Später arbeitete er genreüberschreitend mit Musikern im Jazz- und Rockbereich. Sein erstes Album unter eigenem Namen, Åpning, spielte er 1973 mit einem Quartett ein, dem der Gitarrist Jon Eberson, Bassist Arild Andersen und Schlagzeuger Jon Christensen angehörten. Er ist u. a. für seine Zusammenarbeit mit Terje Rypdal (The Sea-Quartett und Duokonzerte) bekannt und mehrfach auf dem Moers Festival aufgetreten. Seine CD mit dem Titel Floating von 2005 stand an der Spitze der Jazzcharts der Magazine Musikmarkt und Musikwoche.
1972 debütierte Bjørnstad als Schriftsteller mit dem Lyrikband Alene ut. Er hat 32 Bücher veröffentlicht, vor allem Romane, aber auch Lyriksammlungen und Essays. In Deutschland wurde er mit seinen Romanbiografien über Edvard Munch (1995) und Edvard Grieg (1998) bekannt. Sein Roman Vindings Spiel[1] stand 2006 auf der Belletristik-Bestsellerliste des Magazins Der Spiegel.[2] Es war der erste Roman einer Trilogie, deren zweiter Band auf Deutsch 2009 unter dem Titel Der Fluss erschien und 2010 mit Die Frau im Tal abschloss.[3] Mit seiner Trilogie sei Bjørnstad etwas Großes gelungen, schrieb Peter Henning in der Frankfurter Allgemeinen Zeitung, „eine Geschichte der vergeblichen Anstrengungen, das Glück festhalten zu wollen.“[4]
De udødelige (2011), deutsch als Die Unsterblichen. Insel-Verlag, Berlin 2014, ISBN 978-3-458-36015-5.
Verdens ende (Roman 2012), deutsch als Emma oder Das Ende der Welt, Osburg Verlag (1. Februar 2017), ISBN 978-3955101282
Ensomheten (Roman, 2013)
Julefortellinger (Kinderbuch, 2013)
Veien til Mozart (2014), deutsch als Mein Weg zu Mozart. Insel-Verlag, Berlin 2016
Verden som var min. Sekstitallet (Roman 2015), deutsch als Die Welt, die meine war. Die sechziger Jahre, Osburg Verlag (Herbst 2018), ISBN 978-3-95510-163-3[5] übersetzt von Gabriele Haefs und Kerstin Reimers
Verden som var min. Syttitallet (2016), deutsch als Die Welt, die meine war. Die siebziger Jahre, Osburg Verlag, Hamburg 2019, ISBN 978-3-95510-196-1
Verden som var min. Åttitallet (2017), deutsch als Die Welt, die meine war. Die achtziger Jahre, Osburg Verlag, Hamburg 2022, ISBN 978-3-95510-273-9