Kofaserung

In der Mathematik sind Kofaserungen ein wichtiger Begriff der algebraischen Topologie.

Definition

Eine stetige Abbildung ${\displaystyle i\colon A\to X}$ ist eine Kofaserung, wenn sie die Homotopieerweiterungseigenschaft erfüllt, d. h. wenn es zu stetigen Abbildungen

${\displaystyle f\colon X\to Y,h\colon A\times \left[0,1\right]\to Y}$

mit

${\displaystyle f\circ i=h\circ i_{0}}$

(für die durch ${\displaystyle i_{0}(x)=(x,0)}$ definierte Inklusive ${\displaystyle i_{0}\colon A\to A\times \left[0,1\right]}$) immer eine stetige Abbildung

${\displaystyle {\overline {h}}\colon X\times \left[0,1\right]\to Y}$

mit

${\displaystyle {\overline {h}}\circ (i\times id)=h}$

und

${\displaystyle {\overline {h}}|_{X\times \{0\}}=f\circ \pi _{X}}$

(für die natürliche Projektion ${\displaystyle \pi _{X}:X\times \{0\}\to X}$) gibt.

Falls ${\displaystyle i\colon A\to X}$ die Inklusion eines Unterraumes ${\displaystyle A\subset X}$ ist, dann ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass es eine Retraktion

${\displaystyle p\colon X\times \left[0,1\right]\to A\times \left[0,1\right]\cup X\times \left\{0\right\}}$

gibt.

Beispiele

• Die Inklusion

${\displaystyle S^{n-1}\to D^{n}}$

ist eine Kofaserung.

• Für jeden CW-Komplex ${\displaystyle X}$ und alle ${\displaystyle m\leq n}$ ist die Inklusion

${\displaystyle X_{m}\to X_{n}}$

des m-Skeletts in das n-Skelett eine Kofaserung. Insbesondere sind CW-Komplexe kofibrant.

Kofaser

Die Homotopie-Kofaser einer (beliebigen) stetigen Abbildung ${\displaystyle f\colon A\to X}$ ist ihr Abbildungskegel ${\displaystyle C_{f}}$. Für jede verallgemeinerte Homologietheorie ${\displaystyle H_{*}}$ hat man eine lange exakte Sequenz

${\displaystyle \ldots \to H_{*+1}(C_{f})\to H_{*}(A)\to H_{*}(X)\to H_{*}(C_{f})\to H_{*-1}(A)\to \ldots }$

Falls die Abbildung ${\displaystyle f}$ eine Kofaserung ist, bezeichnet man die Homotopie-Kofaser ${\displaystyle C_{f}}$ als Kofaser.

Wenn eine Inklusion ${\displaystyle f\colon A\to X}$ eine Kofaserung ist, dann ist die Kofaser ${\displaystyle C_{f}}$ Homotopie-äquivalent zum Quotientenraum ${\displaystyle X/A}$ und es gilt

${\displaystyle H_{*}(X,A)=H_{*}(C_{f})=H_{*}(X/A)}$.

Literatur

• Whitehead, George W.: Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. ISBN 0-387-90336-4