Leonid Kurawljow war der Sohn eines Schlossers und einer Friseuse. Seine Mutter wurde 1941 verleumdet und in das Gebiet Murmansk zwangsumgesiedelt, wo er nördlich des Polarkreises am Ufer des Imandra im Dorf Sascheiek mehrere Jahre mit ihr lebte.
Ab 1955 begann er eine Ausbildung an der Filmhochschule WGIK, wo er bei Boris Bibikow Schauspiel studierte. Bereits als Student übernahm er Charakterrollen. 1959 debütierte Leonid Kurawljow in Heute gibt es keinen Feierabend! von Alexander Gordon und Andrei Tarkowski. Kurawljow, der überwiegend in Alltagsfilmen auftrat, verkörperte insbesondere unter dem Regisseur Wassili Schukschin Filmfiguren voller Lebensfreude mit volkstümlichem Humor, so in Von einem, der auszog, die Liebe zu finden (1964) und Euer Sohn und Bruder (1965). In der Gogol-Verfilmung Wij spielte er 1967 die Hauptrolle des Philosophiestudenten Choma Brut. Sein komisches Talent konnte er auch mit der Titelrolle in Giorgi DaneliasLaßt das mal Afonja machen (1975) unter Beweis stellen. Zu seinen wichtigen Filmen gehört zudem Tatjana Liosnowas Sozialdrama Wir, die Endunterzeichneten (1981), in dem er neben Irina Murawjowa die Hauptrolle spielte.
Kuraljow war verheiratet und hatte zwei Kinder: Tochter Jekaterina (* 1962) und Sohn Wassili (* 1978). Nach dem Tode seiner Frau Nina Wassiljewna im April 2012 zog er sich aus der Öffentlichkeit zurück. Nina Wassiljewna und Leonid Kurawljow waren 52 Jahre miteinander verheiratet.
Ab Sommer 2021 lebte Kurawljow in einem Moskauer Pflegeheim für Senioren.[1]
Am 5. Januar 2022 wurde er mit der Diagnose einer virusbedingten Lungenentzündung in ein Krankenhaus eingeliefert; später in das nach W. W. Millionschtschikowa benannte erste Moskauer Hospiz verlegt. Die Ärzte diagnostizierten bei dem 85-jährigen Schauspieler eine Demenz gemischten Typs sowie eine zerebrovaskuläre Erkrankung.
Kurawljow starb am 30. Januar 2022 im Alter von 85 Jahren an einem Herzstillstand und wurde am 1. Februar 2022 am Trojekurowo Friedhof neben seiner Frau Nina Wassiljewna beerdigt. Die Trauerfeier fand im engen Familienkreis statt.[2]