Lucas-Carmichael-Zahl

Eine Lucas-Carmichael-Zahl ist eine zusammengesetzte, natürliche Zahl, die eine ähnliche Bedingung wie eine Carmichael-Zahl erfüllt. Sie ist nach den beiden Mathematikern Édouard Lucas und Robert Daniel Carmichael benannt.

Definition

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ heißt Lucas-Carmichael-Zahl, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

• ${\displaystyle n}$ ist eine ungerade Zahl
• ${\displaystyle n}$ ist quadratfrei
• ${\displaystyle n}$ besitzt mindestens 3 Primteiler
• Für jeden Primteiler ${\displaystyle p}$ der Zahl ${\displaystyle n}$ gilt:

${\displaystyle p+1}$ teilt ${\displaystyle n+1}$

Würde die Zahl ${\displaystyle n}$ nicht ungerade und quadratfrei sein müssen, dann wären Kubikzahlen von Primzahlen wie zum Beispiel ${\displaystyle 2^{3}=8}$ oder ${\displaystyle 3^{3}=27}$ triviale Lucas-Carmichael-Zahlen, weil für jede Kubikzahl ${\displaystyle n=p^{3}}$ mit den drei Teilern ${\displaystyle p}$ wäre ${\displaystyle p+1}$ immer ein Teiler von ${\displaystyle n+1=p^{3}+1=(p+1)\cdot (p^{2}-p+1)}$.

Beispiel

399 = 3 · 7 · 19 und

(3+1) = 4 teilt 400 = (399+1)

(7+1) = 8 teilt 400 = (399+1)

(19+1) = 20 teilt 400 = (399+1)

Demzufolge ist 399 eine Lucas-Carmichael-Zahl.

Die kleinsten Lucas-Carmichael-Zahlen

Die folgenden Zahlen sind Lucas-Carmichael-Zahlen (Folge A006972 in OEIS):

n Primteiler 399 = 3 · 7 · 19 935 = 5 · 11 · 17 2015 = 5 · 13 · 31 2915 = 5 · 11 · 53 4991 = 7 · 23 · 31 5719 = 7 · 19 · 43 7055 = 5 · 17 · 83 8855 = 5 · 7 · 11 · 23 12719 = 7 · 23 · 79 18095 = 5 · 7 · 11 · 47

n Primteiler 20705 = 5 · 41 · 101 20999 = 11 · 23 · 83 22847 = 11 · 31 · 67 29315 = 5 · 11 · 13 · 41 31535 = 5 · 7 · 17 · 53 46079 = 11 · 59 · 71 51359 = 7 · 11 · 23 · 29 60059 = 19 · 29 · 109 63503 = 11 · 23 · 251 67199 = 11 · 41 · 149

n Primteiler 73535 = 5 · 7 · 11 · 191 76751 = 23 · 47 · 71 80189 = 17 · 53 · 89 81719 = 11 · 17 · 19 · 23 88559 = 19 · 59 · 79 90287 = 17 · 47 · 113 104663 = 13 · 83 · 97 117215 = 5 · 7 · 17 · 197 120581 = 17 · 41 · 173 147455 = 5 · 7 · 11 · 383

n Primteiler 152279 = 29 · 59 · 89 155819 = 19 · 59 · 139 162687 = 3 · 7 · 61 · 127 191807 = 7 · 11 · 47 · 53 194327 = 7 · 17 · 23 · 71 196559 = 11 · 107 · 167 214199 = 23 · 67· 139 218735 = 5 · 11 · 41 · 97 230159 = 47 · 59 · 83 265895 = 5 · 7 · 71 · 107

n Primteiler 357599 = 11 · 19 · 29 · 59 388079 = 23 · 47 · 359 390335 = 5 · 11 · 47 · 151 482143 = 31 · 103 · 151 588455 = 5 · 7 · 17 · 23 · 43 653939 = 11 · 13 · 17 · 269 663679 = 31 · 79 · 271 676799 = 19 · 179 · 199 709019 = 17 · 179 · 233 741311 = 53 · 71 · 197

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit vier Primfaktoren ist 8.855 = 5 · 7 · 11 · 23.

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit fünf Primfaktoren ist 588.455 = 5 · 7 · 17 · 23 · 43.

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit sechs Primfaktoren ist 139.501.439 = 7 · 11 · 17 · 19 · 71 · 79.

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit sieben Primfaktoren ist 3.512.071.871 = 7 · 11 · 17 · 23 · 31 · 53 · 71.

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit acht Primfaktoren ist 199.195.047.359 = 7 · 11 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 · 239.

Eigenschaften

• Aufgrund der Identität ${\displaystyle n+1=-{\frac {n}{p}}+1+(p+1){\frac {n}{p}}}$ gilt für jeden Primteiler ${\displaystyle p}$ einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle n+1\equiv -{\frac {n}{p}}+1\ mod\ p+1}$.

Somit ist eine ungerade quadratfreie Zahl ${\displaystyle n}$ genau dann eine Lucas-Carmichael-Zahl, wenn für jeden ihrer Primteiler gilt: ${\displaystyle p+1}$ teilt ${\displaystyle {\frac {n}{p}}-1}$.

• Es existieren fermatsche Pseudoprimzahlen unter den Lucas-Carmichael-Zahlen.
• Lucas-Carmichael-Zahlen sind keine Teilmenge der fermatschen Pseudoprimzahlen.
• Es ist nicht bekannt, ob eine Lucas-Carmichael-Zahl existiert, die gleichzeitig eine Carmichael-Zahl ist.

Weblinks

• Lucas-Carmichael number. In: PlanetMath. (englisch)