Lychrel-Zahl

Bei den Lychrel-Zahlen handelt es sich um bestimmte natürliche Zahlen, die sich der Palindrombildung durch einen bestimmten Algorithmus, dem 196-Algorithmus, widersetzen.

Der Name Lychrel stammt von Wade Van Landingham und hat keine besondere Bedeutung, außer dass vor der Benennung dieser Zahlen Google kein Suchergebnis für Lychrel lieferte und das Wort in keinem Wörterbuch verzeichnet war; außerdem ist es ein ungefähres Anagramm zu dem Namen der Freundin von Van Landingham („Cheryl“).

Eigenschaften der Lychrel-Zahlen

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Jede natürliche Zahl , die nicht durch eine endliche Anzahl von Inversionen und Additionen zu einem Zahlen-Palindrom führt, wird als Lychrel-Zahl bezeichnet. Als Inversion versteht man hier das Bilden der spiegelverkehrten Zahl . Führt die Addition dabei zu einem Zahlenpalindrom, ist der Algorithmus beendet. Falls nicht, wird durch erneute Inversion und Addition dieser Vorgang so lange ausgeführt, bis das Ergebnis ein Palindrom ist.

Beispiele

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  • Man nimmt die Zahl 5273. Die spiegelverkehrte Zahl dazu lautet 3725 (Inversion). Durch Addition erhält man das Zahlenpalindrom 8998.
  • Bei anderen Zahlen kann dieser Algorithmus länger dauern:
4753 + 3574 = 8327
8327 + 7238 = 15565
15565 + 56551 = 72116
72116 + 61127 = 133243
133243 + 342331 = 475574 (ein Palindrom)
  • Die Lychrel-Zahlen widersetzen sich der Palindrombildung. Die kleinste Lychrel-Zahl ist vermutlich die Zahl 196. Ein mathematischer Beweis dafür, dass ausgehend von 196 die Inversion definitiv nie ein Palindrom ergeben wird, existiert bisher aber nicht. Auch die sehr große Anzahl von gerechneten Iterationen (knapp 725 Millionen) lässt keine Aussage über die Gültigkeit dieser Vermutung zu. Siehe unten.

Rekorde

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Nach der Anzahl der Iterationen, bei möglichst kleiner Anfangszahl

(Anfangszahl kleiner als 100.000, Kandidaten für Lychrel-Zahlen ausgenommen)

Zahl Iter-
ationen 		Palindrom
Stellen Zahl
1 1 1 2
5 2 2 11
59 3 4 1.111
69 4 4 4.884
79 6 5 44.044
89 24 13 8.813.200.023.188
10.548 30 17 17.858.768.886.785.871
10.677 53 28 4.668.731.596.684.224.866.951.378.664
10.833 54 28 4.668.731.596.684.224.866.951.378.664
10.911 55 28 4.668.731.596.684.224.866.951.378.664

Der Rekord liegt momentan bei 261 Iterationsschritten, dies benötigt die Zahl 1.186.060.307.891.929.990 (19 Stellen), um auf ein 119-stelliges Palindrom zu kommen.[1]

Berechnung

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Mit Stand von April 2009 wurde der Algorithmus bei allen bis 18-stelligen Zahlen ausgeführt, bis Januar 2010 wurde er außerdem bei 55 Prozent aller 19-stelligen Zahlen angewandt (Kandidaten für Lychrel-Zahlen ausgenommen).[1]

Lychrel-Zahlen

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Die Lychrel-Zahlen widersetzten sich diesem Algorithmus, das heißt, dass – auch nach beliebig vielen Iterationsschritten – kein Palindrom entsteht.

Momentan existiert kein mathematisches Verfahren, um sicher festzustellen, ob eine Zahl eine Lychrel-Zahl ist, so dass bis heute nicht einmal sicher ist, ob sie überhaupt existieren.

Kleinster gefundener Kandidat für Lychrel-Zahlen

Die 196 ist die kleinste Zahl, die durch den Algorithmus bisher noch nicht in ein Palindrom umgewandelt werden konnte. Da dies der kleinste Lychrel-Kandidat ist, ist diese Zahl bisher am besten untersucht. Bis zum 1. Mai 2006 berechnete Wade VanLandingham elektronisch 724.756.966 Iterationen, ausgehend von der 196. Die letzte Ergebniszahl hatte 300.000.000 Stellen und war immer noch kein Palindrom. Die Berechnung begann im August 2001 und dauerte fast fünf Jahre, wobei hier erwähnt werden muss, dass man dabei schon auf eine bereits durchgeführte Berechnung bis zu einem 14.000.000-stelligen Ergebnis (33.824.775 durchgeführte Iterationen) zurückgreifen konnte, dessen erste Ergebnisse schon Anfang der 1990er Jahre ausgerechnet worden waren.[2]

Kandidaten für Lychrel-Zahlen kleiner als 10000 sind
  • zwischen 1 und 999:
    196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986
  • zwischen 1000 und 1999:
    1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857, 1945, 1947, 1997
  • zwischen 2000 und 2999:
    2494, 2496, 2584, 2586, 2674, 2676, 2764, 2766, 2854, 2856, 2944, 2946, 2996
  • zwischen 3000 und 3999:
    3493, 3495, 3583, 3585, 3673, 3675, 3763, 3765, 3853, 3855, 3943, 3945, 3995
  • zwischen 4000 und 4999:
    4079, 4169, 4259, 4349, 4439, 4492, 4494, 4529, 4582, 4584, 4619, 4672, 4674, 4709, 4762, 4764, 4799, 4852, 4854, 4889, 4942, 4944, 4979, 4994
  • zwischen 5000 und 5999:
    5078, 5168, 5258, 5348, 5438, 5491, 5493, 5528, 5581, 5583, 5618, 5671, 5673, 5708, 5761, 5763, 5798, 5851, 5853, 5888, 5941, 5943, 5978, 5993
  • zwischen 6000 und 6999:
    6077, 6167, 6257, 6347, 6437, 6490, 6492, 6527, 6580, 6582, 6617, 6670, 6672, 6707, 6760, 6762, 6797, 6850, 6852, 6887, 6940, 6942, 6977, 6992
  • zwischen 7000 und 7999:
    7059, 7076, 7149, 7166, 7239, 7256, 7329, 7346, 7419, 7436, 7491, 7509, 7526, 7581, 7599, 7616, 7671, 7689, 7706, 7761, 7779, 7796, 7851, 7869, 7886, 7941, 7959, 7976, 7991
  • zwischen 8000 und 8999:
    8058, 8075, 8079, 8089, 8148, 8165, 8169, 8179, 8238, 8255, 8259, 8269, 8328, 8345, 8349, 8359, 8418, 8435, 8439, 8449, 8490, 8508, 8525, 8529, 8539, 8580, 8598, 8615, 8619, 8629, 8670, 8688, 8705, 8709, 8719, 8760, 8778, 8795, 8799, 8809, 8850, 8868, 8885, 8889, 8899, 8940, 8958, 8975, 8979, 8989, 8990
  • zwischen 9000 und 9999:
    9057, 9074, 9078, 9088, 9147, 9164, 9168, 9178, 9237, 9254, 9258, 9268, 9327, 9344, 9348, 9358, 9417, 9434, 9438, 9448, 9507, 9524, 9528, 9538, 9597, 9614, 9618, 9628, 9687, 9704, 9708, 9718, 9777, 9794, 9798, 9808, 9867, 9884, 9888, 9898, 9957, 9974, 9978, 9988

[3][4][5]

Verteilung der Kandidaten für Lychrel-Zahlen
Anzahl der
Kandidaten		 Zahlenraum
013 0000 bis 0999
013 1000 bis 1999
013 2000 bis 2999
013 3000 bis 3999
024 4000 bis 4999
024 5000 bis 5999
024 6000 bis 6999
029 7000 bis 7999
051 8000 bis 8999
045 9000 bis 9999
249 0000 bis 9999

[4]

Die ersten Iterationen für kleine Kandidaten

Die Zeilen listen jeweils Kandidaten für Lychrel-Zahlen auf, wobei übereinander stehende Zahlen jeweils Inverse voneinander sind. Hinter dem Punkt folgen die Kandidaten, die auf Null enden. Hinter dem Pfeil steht die gemeinsame Summe der Paare.

  • 196, 295, 394
    691, 592, 493 • 790 → 887
  • 689, 788
    986, 887 → 1675
  • 1495, 1585, 1675, 1765, 1855, 1945, 2494, 2584, 2674, 2764, 2854, 2944, 3493, 3583, 3673
    5941, 5851, 5761, 5671, 5581, 5491, 4942, 4852, 4762, 4672, 4582, 4492, 3943, 3853, 3763 • 6490, 6580, 6670, 6760, 6850, 6940 → 7436
  • 4079, 4169, 4259, 4349, 4439, 4529, 4619, 4709, 5078, 5168, 5258, 5348, 5438, 5528, 5618, 5708, 6077, 6167, 6257, 6347, 6437, 6527, 6617, 6707
    9704, 9614, 9524, 9434, 9344, 9254, 9164, 9074, 8705, 8615, 8525, 8435, 8345, 8255, 8165, 8075, 7706, 7616, 7526, 7436, 7346, 7256, 7166, 7076 → 13783


  • 4799, 4889, 4979, 5798, 5888, 5978, 6797, 6887, 6977
    9974, 9884, 9794, 8975, 8885, 8795, 7976, 7886, 7796 → 14773


  • 7059, 7149, 7239, 7329, 7419, 7509, 8058, 8148, 8238,
    9507, 9417, 9327, 9237, 9147, 9057, 8508, 8418, 8328 → 16566


  • 7599, 7689, 7779, 7869, 7959, 8598, 8688
    9957, 9867, 9777, 9687, 9597, 8958, 8868 • 8778 → 17556


  • 879
    978 → 1857
  • 1497, 1587, 1677, 1767, 1857, 1947, 2496, 2586, 2676, 2766, 2856, 2946, 3495, 3585, 3675, 3765, 3855, 3945, 4494, 4584, 4674
    7941, 7851, 7761, 7671, 7581, 7491, 6942, 6852, 6762, 6672, 6582, 6492, 5943, 5853, 5763, 5673, 5583, 5493, 4944, 4854, 4764 • 8490, 8580, 8670, 8760, 8850, 8940 → 9438
  • 8079, 8169, 8259, 8349, 8439, 8529, 8619, 8709
    9708, 9618, 9528, 9438, 9348, 9258, 9168, 9078 → 17787


  • 8089, 8179, 8269, 8359, 8449, 8539, 8629, 8719, 8809
    9808, 9718, 9628, 9538, 9448, 9358, 9268, 9178, 9088 → 17897


  • 8799, 8889, 8979
    9978, 9888, 9798 → 18777


  • 1997, 2996, 3995
    7991, 6992, 5993 • 4994 • 8990 → 9988
  • 8899, 8989
    9988, 9898 → 18887
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Einzelnachweise

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  1. ↑ a b www.jasondoucette.com „Weltrekorde“, Abschnitt Most Delayed Palindromic Number Records
  2. ↑ Webseite über die Lychrel-Zahlen (Memento vom 4. November 2006 im Internet Archive)
  3. ↑ Folge A023108 in OEIS (englisch)
  4. ↑ a b http://www.p196.org/files.html (Memento vom 1. Mai 2009 im Internet Archive)
  5. ↑ rosettacode.org