Markow-Ungleichung (Analysis)

Die Markow-Ungleichungen – benannt nach den russischen Mathematikern Andrei und Wladimir Markow – geben eine obere Schranke für die Ableitung von Polynomen in dem abgeschlossenen reellen Intervall [−1,+1] an. Sie werden in der Approximationstheorie gebraucht. Gelegentlich werden diese Ungleichungen auch als Markow-brothers' Ungleichungen bezeichnet.

Grundform

Andrei Markow veröffentlichte im Jahr 1889 folgende Ungleichung:^[1]

Sei ${\displaystyle P}$ ein Polynom vom Grad höchstens ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle P'}$ seine erste Ableitung, dann gilt ${\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}(|P'(x)|)\leq n^{2}\cdot \max _{-1\leq x\leq 1}(|P(x)|)}$

Sie lässt sich mit Hilfe der Bernstein-Ungleichung aus der Analysis beweisen.^[2]

Die Konstante ${\displaystyle n^{2}}$ ist die bestmögliche. Wählt man nämlich für ${\displaystyle P}$ das ${\displaystyle n}$-te Tschebyschow-Polynom, dann gilt Gleichheit:^[3]

${\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}(|P'(x)|)=n^{2}\cdot \max _{-1\leq x\leq 1}(|P(x)|)}$

Verallgemeinerung

1892 verallgemeinerte Andreis Bruder Vladimir Markov diese Ungleichung für höhere Ableitungen:^[4]

Sei ${\displaystyle P}$ ein Polynom vom Grad kleiner gleich ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle P^{(k)}}$ die ${\displaystyle k}$-te Ableitung, dann gilt ${\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}|P^{(k)}(x)|\leq {\frac {n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})\cdots (n^{2}-(k-1)^{2})}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}}\max _{-1\leq x\leq 1}|P(x)|}$

Für den Spezialfall ${\displaystyle k=1}$ erhält man die erste Ungleichung. Werner Wolfgang Rogosinski fand 1955 einen einfacheren Beweis.^[5]

In den 1940er und 1950er Jahren fanden Mathematiker weitere Verallgemeinerungen und auch Verschärfungen dieser Ungleichungen.^[6] So verschärften Richard Duffin und Albert C. Schaeffer im Jahre 1961 die Grundform zu^[7]

${\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}(|P'(x)|)\leq n^{2}\cdot \max(|P(x_{i})|)}$

wobei ${\displaystyle x_{i}}$ die Extremwerte der Tschebyschow-Polynome n-ten Grades ${\displaystyle T_{n}}$ sind.

Literatur

• Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill Book Company, 1966, ISBN 0-07-010757-2, S. 90–91 und 228.

Einzelnachweise

1. Andrei Markow: Sur une question posée par Mendeleieff. Izvestia Akademii Nauk SSSR Vol. 62 (1889), S. 1–24.
2. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 90–91.
3. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 94, Problem 8.
4. Vladimir Markov: On functions deviating the least from zero on a given interval. St. Petersburg 1892, - Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen. In: Mathematische Annalen. Vol. 77 (1916), S. 213–258. (PDF (Memento vom 8. Februar 2021 im Internet Archive))
5. Werner Wolfgang Rogosinski: Some elementary inequalities for polynomials. In: Mathematical Gazette. Vol. 39 (1955), S. 7–12.
6. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 228.
7. Richard Duffin, Albert C. Schaeffer: A refinement of an inequality of the brothers Markoff. In: American Mathematical Society Transactions. (TAMS), Vol. 50 (1941), S. 517–528 (PDF)