Miyaoka-Yau-Ungleichung

In der komplexen Geometrie dient die Miyaoka-Yau-Ungleichung (auch Bogomolov-Miyaoka-Ungleichung) zur Charakterisierung von bestimmten komplexen Mannigfaltigkeiten, den Ballquotienten.

Miyaoka-Yau-Ungleichung für komplexe Flächen

Sei ${\displaystyle S}$ eine kompakte komplexe Fläche von allgemeinem Typ. Dann gilt für die Chern-Klassen ${\displaystyle c_{1}}$ und ${\displaystyle c_{2}}$ die Ungleichung

${\displaystyle c_{1}^{2}\leq 3c_{2}}$

und Gleichheit gilt nur, wenn ${\displaystyle S}$ ein Ballquotient, also eine komplex-hyperbolische Fläche ist.^[1][2]

Verallgemeinerungen

Sei ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale komplexe projektive Varietät, deren kanonischer Divisor ${\displaystyle K_{X}}$ ampel ist. Dann gilt die Ungleichung

${\displaystyle \left(c_{2}-{\frac {n}{2(n+1)}}c_{1}^{2}\right)\left[K_{X}\right]^{n-2}\geq 0}$

und Gleichheit gilt nur, wenn ${\displaystyle X}$ ein Ballquotient, also eine komplex-hyperbolische Mannigfaltigkeit ist.^[3]

Einzelnachweise

1. Y. Miyaoka: On the Chern numbers of surfaces of general type, Inventiones Mathematicae 42, 225–237, 1977.
2. S. T. Yau: Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 74, 1798–1799, 1977.
3. D. Greb, S. Kebekus, T. Peternell, B. Taji: The Miyaoka-Yau inequality and uniformization of canonical models, Annales scientifiques de l‘École normale supérieure, 2019.