Muirhead-Ungleichung

Die Muirhead-Ungleichung ist eine Verallgemeinerung der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Zwei Definitionen

Das „a-Mittel“

Für einen gegebenen reellen Vektor

${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

wird der Ausdruck

${\displaystyle [a]={1 \over n!}\sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{a_{n}},}$

wobei über alle Permutationen σ von { 1, …, n } summiert wird, als „a-Mittel“ [a] der nichtnegativen reellen Zahlen x₁, …, x_n bezeichnet.

Für den Fall a = (1, 0, …, 0), ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen x₁, …, x_n; für den Fall a = (1/n, …, 1/n) ergibt sich genau das geometrische Mittel.

Doppelt stochastische Matrizen

Eine n × n Matrix P wird doppelt stochastisch genannt, wenn sie aus nichtnegativen Zahlen besteht und sowohl die Summe jeder Zeile als auch die Summe jeder Spalte gleich eins sind.

Die Muirhead-Ungleichung

Die Muirhead-Ungleichung besagt nun, dass [a] ≤ [b] für alle x_i ≥ 0 genau dann, wenn eine doppelt stochastische Matrix P existiert, für die a = Pb gilt.

Ein Beweis der Muirhead-Ungleichung findet sich beispielsweise in ^[1]

Einzelnachweise

1. Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood, G. Polya: Inequalities, Cambridge University Press (1952), Kapitel 2.18 und 2.19.

Siehe auch

• Mittelwert