Newtonsche Ungleichungen

In der Mathematik sind die newtonschen Ungleichungen Ungleichungen, die nach Isaac Newton, dem Verfasser der Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, benannt wurden.

Aussage

Seien ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ reelle Zahlen und seien ${\displaystyle \sigma _{k}}$ die ${\displaystyle k}$-ten elementarsymmetrischen Polynome in ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$, definiert durch

${\displaystyle \sigma _{k}=\sum _{S\subseteq \{1,\dotsc ,n\} \atop \#S=k}\ \prod _{i\in S}a_{i}\ .}$

Es gelten beispielsweise ${\displaystyle \sigma _{1}=a_{1}+\dotsb +a_{n}}$ und ${\displaystyle \sigma _{n}=a_{1}\dotsm a_{n}}$.

Dann erfüllen die elementaren symmetrischen Mittel, definiert durch

${\displaystyle S_{k}={\frac {\sigma _{k}}{\binom {n}{k}}},}$

die Ungleichungen

${\displaystyle S_{k-1}S_{k+1}\leq S_{k}^{2}}$

für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle 0<k<n}$.

Falls alle ${\displaystyle a_{i}}$ ungleich Null sind, dann gilt Gleichheit genau dann, falls alle ${\displaystyle a_{i}}$ gleich sind. Es sei bemerkt, dass ${\displaystyle S_{1}}$ das arithmetische Mittel und ${\displaystyle S_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te Potenz des geometrischen Mittels der ${\displaystyle a_{i}}$ ist.

Siehe auch

• Maclaurin-Ungleichung

Einzelnachweise

• Isaac Newton: Arithmetica universalis: sive de compositione et resolutione arithmetica liber. 1707. 
• D.S. Bernstein Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2009 Princeton) p. 55
• C. Maclaurin: A second letter to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra. In: Philosophical Transactions. 36. Jahrgang, Nr. 407–416, 1729, S. 59–96, doi:10.1098/rstl.1729.0011 (zenodo.org [PDF]). 
• J.N. Whiteley: On Newton's Inequality for Real Polynomials. In: The American Mathematical Monthly. 76. Jahrgang, Nr. 8. The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 8, 1969, S. 905–909, doi:10.2307/2317943. 
• Constantin Niculescu: A New Look at Newton's Inequalities. In: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 1. Jahrgang, Nr. 2, 2000 (emis.de).