Peetre-Ungleichung

Die Peetre-Ungleichung, benannt nach Jaak Peetre, ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, genauer aus der Theorie der Hilberträume.

Es sei ${\displaystyle H}$ ein Hilbertraum. Dann gilt für alle ${\displaystyle x,y\in H}$ und für alle reellen Zahlen ${\displaystyle t}$ die Ungleichung^[1]

${\displaystyle {\frac {(1+\|x\|^{2})^{t}}{(1+\|y\|^{2})^{t}}}\leq 2^{|t|}\cdot (1+\|x-y\|^{2})^{|t|}\,.}$

Diese Ungleichung wurde 1959 von J. Peetre bewiesen^[2] und wird für numerische und theoretische Abschätzungen eingesetzt. Stellt man obige Ungleichung zu

${\displaystyle (1+\|x\|^{2})^{t}\leq 2^{|t|}\cdot (1+\|x-y\|^{2})^{|t|}\cdot (1+\|y\|^{2})^{t}}$

um, so erkennt man, dass diese Abschätzung in Sobolev-Räumen reellwertiger Ordnung hilfreich sein kann, denn dort treten unter einem Integral gerade Funktionen der Form ${\displaystyle (1+\|x\|^{2})^{t}}$ auf. Eine Anwendung der Peetre-Ungleichung in dieser Richtung findet sich im unten angegebenen Lehrbuch^[3] bei der Untersuchung von Multiplikationsoperatoren auf Sobolev-Räumen.

Einzelnachweise

1. J. Heine: Topologie und Funktionalanalysis, Oldenbourg Verlag (2002), ISBN 3-486-24914-2, Satz 1.1-10
2. J. Peetre: Une charactérisation abstraite des opérateurs differentiels, Math Scandinavica, Band 7 (1959), Seiten 211–118 (J. Peetre: Rectification à l'article "Une charactérisation abstraite des opérateurs differentiels", Math Scandinavica, Band 8 (1960), Seiten 116–120)
3. Herbert Schröder: Funktionalanalysis, Harri Deutsch Verlag (2000), ISBN 3-8171-1623-3, Satz 6.1.7