Perfekt totiente Zahl

Der Totient einer Zahl ist in der Zahlentheorie definiert als , welche auch Eulersche Phi-Funktion genannt wird und angibt, wie viele zu teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als sind.

Eine perfekt totiente Zahl (englisch perfect totient number) ist eine natürliche Zahl , die man wie folgt erhält:

Man beginne mit der Zahl und bilde ihren Totienten . Nun bildet man von diesem Totienten den Totienten und so fort, bis man den Wert erreicht. Addiert man jetzt die so erhaltenen Totienten und erhält als Summe genau die Ausgangszahl , so ist eine perfekt totiente Zahl.

Mathematisch formuliert bedeutet das:

Sei
für die iterierten Totienten.
Sei weiters eine natürliche Zahl mit .
Dann ist eine perfekt totiente Zahl, wenn gilt:

Diese Zahlen wurden erstmals vom Mathematiker Laureano Pérez-Cacho im Jahr 1939 untersucht.[1] Nach einer längeren Pause beschäftigte sich im Jahr 1975 der Mathematiker T. Venkataraman[2] und im Jahr 1982 die beiden Mathematiker A. L. Mohan und D. Suryanarayana mit diesen Zahlen.[3]

  • Sei .
Zur Zahl gibt es teilerfremde Zahlen, welche kleiner als sind, nämlich und . Somit ist .
Nun bestimmt man den Totienten von . Zur Zahl gibt es nur teilerfremde Zahlen, welche kleiner als sind, nämlich und . Somit ist .
Bleibt noch die Bestimmung des Totienten von . Zur Zahl gibt es nur eine teilerfremde Zahl, welche kleiner als ist, nämlich . Somit ist .
Man erhält .
Addiert man nun die so erhaltenen Totienten, erhält man , die Ausgangszahl. Also ist eine perfekt totiente Zahl.
  • Die folgenden Zahlen sind die kleinsten perfekt totienten Zahlen:
3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, 5571, 6561, 8751, 15723, 19683, 36759, 46791, 59049, 65535, 140103, 177147, 208191, 441027, 531441, 1594323, 4190263, 4782969, 9056583, 14348907, 43046721, … (Folge A082897 in OEIS)
Es gibt 61 perfekt totiente Zahlen, welche kleiner als eine Billion (also kleiner als ) sind.[4]
  • Jede perfekt totiente Zahl ist ungerade.
Beweis:
Eine Eigenschaft der Totienten ist, dass für immer eine gerade Zahl ergibt (nur ergibt einen ungeraden Totienten). Somit müssen bei der Kontrolle, ob eine Zahl eine perfekt totiente Zahl ist oder nicht, anfangs immer nur gerade Zahlen aufaddiert werden, was letztendlich als Summe wiederum eine gerade Zahl ergibt. Ganz zum Schluss muss aber zu dieser geraden Zahl noch , eine ungerade Zahl, hinzuaddiert werden, womit man als Gesamtsumme eine ungerade Zahl erhält. Diese Totienten-Gesamtsumme ist aber der Wert der perfekt totienten Zahl, woraus man folgern kann, dass alle perfekt totienten Zahlen ungerade sein müssen.
  • Alle Zahlen der Form mit , , sind perfekte totiente Zahlen.
  • Die meisten der bekannten perfekt totienten Zahlen sind Vielfache von Potenzen von , also von der Form . Die kleinste perfekt totiente Zahl, die nicht durch teilbar ist, ist .[5]
  • Sei die -te perfekt totiente Zahl. Für die ersten 64 bekannten perfekt totienten Zahlen gilt:[6]
Beispiele:
Im Moment sind nur die fünf Fermat-Primzahlen und bekannt. Multipliziert man sie miteinander, erhält man die Zahlen und , welche tatsächlich allesamt perfekt totiente Zahlen sind.
  • Sei mit primen , . Dann gilt:[1][7]
ist eine perfekt totiente Zahl genau dann, wenn und ist selbst eine perfekt totiente Zahl.
Dieser Satz konnte schon im Jahr 1939 von L. P. Cacho bewiesen werden.
Beispiel:
Die Zahl ist eine perfekt totiente Zahl. Es ist eine Primzahl. Man erhält die Zahl , welche tatsächlich eine perfekt totiente Zahl ist.
  • Sei eine Primzahl mit natürlichem . Dann gilt:[2][8]
ist eine perfekt totiente Zahl.
Dieser Satz wurde vom Mathematiker T. Venkataraman im Jahr 1975 bewiesen.
Die folgende Liste gibt die kleinsten an, für welche Zahlen der Form Primzahlen sind:
0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 885, 1005, 1254, 1635, 3306, 3522, 9602, 19785, 72698, 233583, 328689, 537918, 887535, 980925, 1154598, 1499606, … (Folge A005537 in OEIS)
  • Sei mit primen , . Dann gilt:[9]
ist keine perfekt totiente Zahl.
Dieser Satz wurde von den beiden Mathematikern A. L. Mohan und D. Suryanarayana im Jahr 1982 bewiesen.
  • A. L. Mohan, D. Suryanarayana: Perfect totient numbers. In: Krishnaswami Alladi (Hrsg.): Number Theory (= Lecture Notes in Mathematics. Band 938). Springer, Berlin/Heidelberg 1982, ISBN 978-3-540-11568-7, S. 101–105, doi:10.1007/BFb0097177 (englisch).
  • Jozsef Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory II. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7, Abschnitt „Perfect totient numbers and related results“, S. 240–242 (englisch, Online [abgerufen am 28. März 2020]).

Einzelnachweise

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  1. a b Laureano Pérez-Cacho (1939). "Sobre la suma de indicadores de ordenes sucesivos". Revista Matematica Hispano-Americana. 5 (3): S. 45–50.
  2. a b T. Venkataraman: Perfect totient number. The Mathematics Student 43, 1975, S. 178, abgerufen am 25. März 2020.
  3. A. L. Mohan, D. Suryanarayana: Perfect Totient Numbers. Springer, Berlin, Heidelberg, 1982, S. 101–105, abgerufen am 25. März 2020.
  4. Liste der ersten 64 perfekt totienten Zahlen auf OEIS A082897
  5. Robert Munafo: Sequence A082897: Perfect Totient Numbers. 2020, abgerufen am 25. März 2020.
  6. a b Comments zu OEIS A082897
  7. A. L. Mohan, D. Suryanarayana: Perfect Totient Numbers. Remark 1. Springer, Berlin, Heidelberg, 1982, S. 101, abgerufen am 25. März 2020.
  8. Douglas E. Iannucci, Deng Moujie, Graeme L. Cohen: On Perfect Totient Numbers. (PDF), Information vor der Tafel auf S. 2. Journal of Integer Sequences 6, Article 03.4.5, 2003, S. 1–7, abgerufen am 25. März 2020.
  9. A. L. Mohan, D. Suryanarayana: Perfect Totient Numbers. Theorem 1. Springer, Berlin, Heidelberg, 1982, S. 101, abgerufen am 25. März 2020.