Potenzmenge

Die Potenzmenge von {x, y, z}, dargestellt als Hasse-Diagramm.

Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge.

Man notiert die Potenzmenge einer Menge ${\displaystyle X}$ meist als ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$. Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenz anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“.

Definition

Die Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ einer Menge ${\displaystyle X}$ ist eine neue Menge, die aus allen Teilmengen ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle X}$ besteht. Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. In Formelschreibweise lautet die Definition einer Potenzmenge

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X):=\{U\mid U\subseteq X\}}$.

Dabei ist zu beachten, dass auch die leere Menge ${\displaystyle \emptyset }$ und die Menge ${\displaystyle X}$ Teilmengen von ${\displaystyle X}$ sind, also Elemente der Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$. Andere gebräuchliche Notationen für die Potenzmenge sind ${\displaystyle {\mathfrak {p}}(X),\ 2^{X},\ \mathrm {Pot} (X),\ \Pi (X),\ \wp (X)}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)}$.

Beispiele

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a\})={\bigl \{}\emptyset ,\{a\}{\bigr \}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a,b\})={\bigl \{}\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}{\bigr \}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a,b,c\})={\bigl \{}\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}{\bigr \}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\emptyset ))={\bigl \{}\emptyset ,\{\emptyset \}{\bigr \}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\{a\}))={\bigl \{}\emptyset ,\{\emptyset \},\{\{a\}\},\{\emptyset ,\{a\}\}{\bigr \}}}$

Strukturen auf der Potenzmenge

Partielle Ordnung

Die Inklusionsrelation ${\displaystyle \subseteq }$ ist eine Halbordnung auf ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ (und keine Totalordnung, wenn ${\displaystyle X}$ mindestens zwei Elemente hat). Das kleinste Element der Ordnung ist ${\displaystyle \emptyset }$, das größte Element ist ${\displaystyle X}$.

Vollständiger Verband

Die Halbordnung ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$ ist ein vollständiger Verband. Dies bedeutet, dass es zu jeder Teilmenge von ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ein Infimum und ein Supremum (in ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$) gibt. Konkret ist für eine Menge ${\displaystyle T\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ das Infimum von ${\displaystyle T}$ gleich dem Durchschnitt der Elemente von ${\displaystyle T}$, und das Supremum von ${\displaystyle T}$ ist gleich der Vereinigung der Elemente von ${\displaystyle T}$, also

${\displaystyle \inf(T)=\bigcap _{M\in T}M\quad {\text{ und }}\quad \mathrm {sup} (T)=\bigcup _{M\in T}M.}$

Das größte und das kleinste Element erhält man als Infimum bzw. Supremum der leeren Menge, also

${\displaystyle \inf(\emptyset )=X\quad {\text{ und }}\quad \sup(\emptyset )=\emptyset .}$

Boolescher Verband

Zieht man noch die Komplementabbildung ${\displaystyle {}^{\mathrm {c} }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$ heran, ist ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\cap ,\cup ,^{\mathrm {c} },\emptyset ,X)}$ ein boolescher Verband, also ein distributiver und komplementärer Verband.

Kommutativer Ring

Jeder boolesche Verband induziert eindeutig eine kommutative Ringstruktur, den sogenannten booleschen Ring. Hier auf ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ist die Ringaddition gegeben durch die symmetrische Differenz von Mengen, die Ringmultiplikation ist der Durchschnitt. Die leere Menge ist neutral für die Addition und ${\displaystyle X}$ ist neutral für die Multiplikation.

Charakteristische Funktionen

Jeder Teilmenge ${\displaystyle T\subseteq X}$ kann man die charakteristische Funktion ${\displaystyle \chi _{T}\colon X\to \{0,1\}}$ zuordnen, wobei gilt

${\displaystyle \chi _{T}(x):={\begin{cases}1,&x\in T\\0,&x\not \in T\end{cases}}}$

Diese Zuordnung ist eine Bijektion zwischen ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ und ${\displaystyle \{0,1\}^{X}}$ (wobei die Notation ${\displaystyle B^{A}}$ für die Menge aller Funktionen von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$ benutzt wird). Dies motiviert für ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ auch die Schreibweise ${\displaystyle 2^{X}}$, denn in von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen ist ${\displaystyle 2=\{0,1\}}$ (allgemein: ${\displaystyle n=\{0,...,n-1\}}$).

Die Korrespondenz ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\cong \{0,1\}^{X}}$ ist zunächst eine reine Bijektion, lässt sich aber leicht als Isomorphismus bezüglich jeder der oben betrachteten Strukturen auf der Potenzmenge nachweisen.

Die Größe der Potenzmenge (Kardinalität)

${\displaystyle |M|}$ bezeichnet die Mächtigkeit einer Menge ${\displaystyle M}$.

• Für endliche Mengen ${\displaystyle X}$ gilt: ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|=2^{|X|}}$.
• Stets gilt der Satz von Cantor: ${\displaystyle |X|<|{\mathcal {P}}(X)|}$.

Der Übergang zur Potenzmenge liefert also immer eine größere Mächtigkeit. Analog zu endlichen Mengen schreibt man auch ${\displaystyle 2^{|X|}}$ für die Mächtigkeit ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|=\left|2^{X}\right|}$ der Potenzmenge einer unendlichen Menge ${\displaystyle X}$. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt für unendliche Mengen ${\displaystyle X}$, dass ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|}$ die nach ${\displaystyle |X|}$ nächstgrößere Mächtigkeit ist: ${\displaystyle \mathrm {GCH} \implies (|X|<|Y|\implies |{\mathcal {P}}(X)|\leq |Y|).}$

Beschränkung auf kleinere Teilmengen

Mit ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\kappa }(X)=\{U\subseteq X:|U|<\kappa \}}$ wird von manchen Autoren die Menge derjenigen Teilmengen von ${\displaystyle X}$ bezeichnet, die weniger als ${\displaystyle \kappa }$ Elemente enthalten. Beispielsweise wäre dann ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\{a,b,c\})=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\}}$: Die Menge ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ selbst fehlt, da sie nicht weniger als ${\displaystyle 3}$ Elemente hat. Andere Autoren verstehen unter ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\kappa }(X)}$ jedoch auch die Menge der Teilmengen von ${\displaystyle X}$, die genau die Mächtigkeit ${\displaystyle \kappa }$ haben.^[1] In diesem Fall wäre ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\{a,b,c\})=\{\{a,b,c\}\}}$. Für letztere Variante ist auch die Schreibweise ${\displaystyle {\binom {X}{\kappa }}}$ gebräuchlich.^[2]

Potenzklasse

Der Begriff der Potenzmenge lässt sich auf Klassen erweitern, wobei zu beachten ist, dass echte Klassen nicht auf der linken Seite der Enthaltenseins-Relation ${\displaystyle \in }$ stehen können. Die Potenz (Potenzklasse) einer Klasse K ist gegeben durch die Klasse aller Mengen, deren Elemente alle in K enthalten sind. Die Elemente der Potenzklasse von K sind also die Teilmengen von K. Die Potenz einer echten Klasse K ist wieder eine echte Klasse, denn sie enthält die Einermengen {x} zu allen Elementen x von K. Sie enthält immer die Leermenge ∅, aber nicht die echte Klasse K selbst.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ die Allklasse, gilt mit diesen Begrifflichkeiten ganz offenbar ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {U}})\subseteq {\mathcal {U}}}$, und das Prinzip der Epsilon-Induktion lässt sich kompakt darstellen als die Forderung, dass ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ die einzige Klasse mit dieser Eigenschaft ist: Ist ${\displaystyle A}$ eine beliebige Klasse, gilt

${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)\subseteq A\implies {\mathcal {U}}\subseteq A}$.

Sonstiges

• Die Existenz der Potenzmenge zu jeder Menge wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als eigenes Axiom gefordert, nämlich durch das Potenzmengenaxiom.
• Ein Mengensystem wie beispielsweise eine Topologie oder eine σ-Algebra über einer Grundmenge ${\displaystyle X}$ ist eine Teilmenge der Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$, also ein Element von ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X))}$.

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Weblinks

Einzelnachweise

1. Heinz Lüneburg: Kombinatorik. Basel 1971, S. 7. 
2. Konrad Jacobs & Dieter Jungnickel: Einführung in die Kombinatorik. Berlin 2004, S. 2.