In der Mathematik ist die Präsentation (oder Präsentierung) einer Gruppe gegeben durch eine Menge von Elementen
, die die Gruppe erzeugen, und eine Menge von Relationen
, die zwischen diesen Erzeugern bestehen und sie wird mit

notiert.
Zum Beispiel wird die zyklische Gruppe der Ordnung
erzeugt von einem Element
mit der Relation
, folglich ist ihre Präsentation

Eine solche Präsentation nennt man daher auch Darstellung durch Erzeuger und Relationen. Ausführlicher bedeutet dies Folgendes:
- Jedes Element der Gruppe lässt sich schreiben als Produkt der angegebenen Erzeuger (sowie ihrer Inversen).
- Je zwei solche Schreibweisen desselben Elements unterscheiden sich nur durch die angegebenen Relationen (und ihre Konsequenzen).
Jede Gruppe lässt sich auf diese Weise präsentieren, und somit sind Präsentationen ein universelles Werkzeug, um Gruppen zu konstruieren und zu untersuchen. Eine endlich präsentierte Gruppe ist eine Gruppe, die durch endlich viele Erzeuger und Relationen beschrieben werden kann. Viele unendliche Gruppen erlauben eine endliche Präsentation und damit eine effiziente Beschreibung. Die kombinatorische Gruppentheorie untersucht Gruppen mit Hilfe ihrer Präsentationen und stellt hierzu umfangreiche Techniken zur Verfügung.
Um in einer Gruppe praktisch zu rechnen, ist es oft hilfreich, sich auf eine geschickt gewählte Menge von Erzeugern zu stützen. Dies gilt insbesondere, wenn die Gruppe groß und kompliziert ist (oder gar unendlich), aber erzeugt wird von einer kleinen, übersichtlichen Menge (im besten Falle endlich). Die entsprechende Idee für Vektorräume über einem Körper führt zum Begriff der Basis, der wesentlich für die lineare Algebra ist.
Für beliebige Gruppen kann man im Allgemeinen keine so einfache Struktur erwarten: Um die Rechenregeln in der Gruppe festzulegen, muss man die Relationen zwischen den Erzeugern angeben. Diese hängen von der betrachteten Gruppe ab und können beliebig kompliziert sein. In diesem praktischen Sinne wurde das Konzept der Präsentation schon seit den Anfängen der Gruppentheorie verwendet, wenn auch zunächst ohne präzise Definition. Rechnungen mit Erzeugern und Relationen finden sich in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts zum Beispiel in den Arbeiten von Arthur Cayley, Henri Poincaré und Walther von Dyck. Erst im 20. Jahrhundert wurde die Praxis der endlich präsentierten Gruppen zu einer Theorie ausgebaut, der kombinatorischen Gruppentheorie, die maßgeblich von Max Dehn initiiert wurde.
Den einfachsten Fall einer Präsentation erhält man für die Gruppe
der ganzen Zahlen mit ihrer Addition. Diese Gruppe kann von einem einzigen Element
erzeugt werden, nämlich
oder
. In diesem Fall bestehen keine Relationen, und dies schreibt man als
.
Jedes Element von
schreibt sich eindeutig als
mit
. In Abwesenheit jeglicher Relationen spricht man auch von der freien Gruppe über den gegebenen Erzeugern.
Fügen wir nun die Relation
ein, wobei
, so erhalten wir die Gruppe

Auch hier lässt sich jedes Element von
schreiben als
mit
. Es gilt jedoch zudem
, und als Konsequenz
für alle
. Daraus folgt, dass die Gruppe
genau
Elemente hat. Man nennt sie die zyklische Gruppe der Ordnung
, und sie ist isomorph zu
.
Wenn man sich beliebige Erzeuger
und Relationen
vorgibt, dann ist zunächst nicht klar, ob und wie dadurch eine Gruppe definiert werden kann. Die folgende Konstruktion löst dieses Problem, indem sie die dargestellte Gruppe
als Quotienten einer freien Gruppe definiert:
Gegeben sei eine Menge
, deren Elemente wir im Folgenden als Erzeuger verwenden wollen. Es sei
die freie Gruppe über
. Diese besteht aus allen reduzierten Wörtern
mit Faktoren
, wobei
für alle
, und Exponenten
, wobei
für alle
. Ferner sei
eine Menge von solchen Wörtern über
. Wir bezeichnen mit
die Menge aller konjugierten Elemente
wobei
und
. Es sei
die von der Menge
erzeugte Untergruppe von
. Man nennt
die Menge aller Konsequenzen der Relationen
. Sie lässt sich auch beschreiben als der von
erzeugte Normalteiler, und dafür ist die Bezeichnung
gebräuchlich.
Nach Konstruktion ist
ein Normalteiler der freien Gruppe
. Wir erhalten demnach als Quotient eine Gruppe

und nennen diese die Gruppe mit Erzeugern
und Relationen
.
Genauer nennt man das Paar
die Präsentation und
die durch
präsentierte Gruppe.
In obiger Konstruktion betrachtet man die Elemente von
üblicherweise als Elemente der Gruppe
. Formal gesehen sind sie aber Elemente der freien Gruppe
und nicht des Quotienten
. Es ist dennoch oft bequemer, sie mittels des Quotientenhomomorphismus
als Erzeuger von
zu betrachten. Wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, unterscheidet man daher nicht zwischen dem Element
und seinem Bild
in
.
Sind
und
endliche Mengen, so nennt man die Präsentation
endlich. In diesem Falle schreibt man die so präsentierte Gruppe
auch einfach
.
Oft schreibt man eine Relation
auch in der Form
, um zu betonen, dass diese im Quotienten
auf das neutrale Element
abgebildet wird. Etwas allgemeiner benutzt man die bequemere Schreibweise
anstelle der Relation
.
Sei
eine Menge und sei
eine Menge von Wörter über
. Die so präsentierte Gruppe
hat folgende universelle Eigenschaft:
- Zu jeder Abbildung
in eine Gruppe
, die die Bedingung
erfüllt, existiert genau ein Gruppenhomomorphismus
, der
fortsetzt, also
für alle
erfüllt.
Anders gesagt, die Gruppe
ist die „freiest mögliche“ von
erzeugte Gruppe unter den vorgegebenen Relationen
. Diese universelle Abbildungseigenschaft ist zu der eingangs gegebenen Definition äquivalent. Jede der beiden Charakterisierungen kann also als Definition der Gruppe
verwendet werden, und in der Literatur finden sich beide Zugänge. Die jeweils andere Charakterisierung ist dann eine Folgerung.
Ist eine Gruppe
gegeben, so können wir ein Erzeugendensystem
von Elementen
wählen. Die freie Gruppe
über
erlaubt dann einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
mit
für alle
. Als zweites können wir nun eine Teilmenge
wählen, die der Kern
als normale Untergruppe erzeugt. Damit erhalten wir einen Gruppenisomorphismus
. Dieser präsentiert die gegebene Gruppe
durch die Erzeuger
und die zwischen ihnen bestehenden Relationen
. Man beachte dabei den Kunstgriff, dass die Relationen
in den freien Erzeugern
ausgedrückt werden, die hier als Variablen oder Platzhalter für die eigentlichen Gruppenelemente
in
dienen.
Wenn man ein endliches Erzeugendensystem
wählen kann, dann heißt
endlich erzeugt.
Wenn man zudem eine endliche Menge
von Relationen wählen kann, dann heißt
endlich präsentiert.
Ist
eine endliche Gruppe der Ordnung
, so können wir ihre Verknüpfungstafel als eine Präsentation durch
Erzeuger und
Relationen interpretieren. Die Erzeuger sind hierbei die Elemente
der gegebenen Gruppe
, und jedes Produkt
definiert eine Relation
in der freien Gruppe über
. Im Allgemeinen erlaubt
jedoch auch viel kürzere Präsentationen, wie die nachfolgenden Beispiele zeigen.
Die Präsentationen
und
wurden oben bereits als einführende Beispiele vorgestellt. Jede Präsentation mit nur einem Erzeuger definiert eine hierzu isomorphe Gruppe.
Präsentationen mit zwei Erzeugern können hingegen bereits überraschend kompliziert sein. Zwei besonders einfache Beispiele sind durch die Diedergruppe und die Quaternionengruppe gegeben.
Die Diedergruppe
der Ordnung
ist die Isometriegruppe eines regelmäßigen
-Ecks in der Ebene. Sie wird erzeugt von zwei benachbarten Spiegelungen
und man erhält so die Präsentation
.
Die verallgemeinerte Quaternionengruppe
der Ordnung
für
ist gegeben durch die Präsentation
.
Für
erhält man hieraus die Hamiltonsche Quaternionengruppe
mit der Verknüpfung
.
In diesem Fall ist die Schreibweise
und
und
sowie
historisch üblich.
Die symmetrische Gruppe
wird von den Transpositionen
erzeugt, wobei
. Man rechnet direkt nach, dass zwischen diesen Erzeugern folgende Relationen gelten:
für alle 
falls 
falls 
Die so präsentierte Gruppe

erlaubt demnach einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
vermöge
.
Es ist zunächst nicht offensichtlich, dass dieser auch injektiv ist, dass die angegebenen Relationen bereits alle Relationen erzeugen. Man kann jedoch mit Hilfe der obigen Relationen zeigen, dass
höchstens
Elemente enthält, und damit gilt
.
Man beachte, dass man wegen
die obigen Relationen auch umschreiben kann als
für
,
für
.
Auch diese äquivalente Schreibweise ist in der Literatur häufig zu finden.
Spiegelungsgruppen sind solche Gruppen, die von Spiegelungen, das heißt Elementen der Ordnung
, erzeugt werden. Spiegelungsgruppen spielen eine wichtige Rolle in der klassischen Geometrie, zum Beispiel bei der Klassifikation regulärer Polyeder. Sie wurden vom britischen Mathematiker Harold Scott MacDonald Coxeter eingehend studiert, zu dessen Ehren sie auch Coxeter-Gruppen genannt werden.
Um alle Relationen einer solchen Gruppe übersichtlich aufzuschreiben, wählen wir eine symmetrische Matrix
, deren Einträge natürliche Zahlen oder unendlich sind, also
für
. Wir nehmen dabei zusätzlich an, dass
und
für alle
. Eine solche Matrix heißt dann Coxeter-Matrix und definiert die folgende Coxeter-Gruppe:

Falls
, so wird die entsprechende Relation einfach weggelassen.
Zum Beispiel ist die Diedergruppe
die Coxeter-Gruppe zur Matrix

Die symmetrische Gruppe
ist die Coxeter-Gruppe zur
Matrix

Solche Matrizen lassen sich übersichtlich als Dynkin-Diagramme darstellen und klassifizieren.
Die Fundamentalgruppe der geschlossenen, orientierbaren Fläche vom Geschlecht
hat die Präsentierung
.
Zu einer vorgegebenen Gruppe
gibt es stets unendlich viele verschiedene Präsentationen. Zum Beispiel ändern die folgenden Transformationen die Präsentation
, nicht aber die präsentierte Gruppe
:
- Hinzufügen bzw. Entfernen einer redundanten Relation
- Ist
eine Konsequenz der Relationen
, so erhält man mit den Relationen
zwar eine neue Präsentation
, aber doch eine isomorphe Gruppe
.
- Hinzufügen bzw. Entfernen eines redundanten Erzeugers
- Für
und
erhält man mit den Erzeugern
und den Relationen
zwar eine neue Präsentation
, aber doch eine isomorphe Gruppe
.
Der Satz von Tietze besagt, dass diese Transformationen bereits alle Möglichkeiten ausschöpfen:
- Sind
und
zwei endliche Präsentationen, so stellen sie genau dann isomorphe Gruppen dar, wenn sie sich durch eine endliche Folge der beiden obigen Transformationen ineinander überführen lassen.
Der deutsche Mathematiker Max Dehn hat zu Beginn des 20. Jahrhunderts mit seinen grundlegenden Arbeiten die kombinatorische Gruppentheorie entscheidend geprägt. Er hat hierbei insbesondere drei allgemeine Probleme herausgestellt, die für die Arbeit mit Präsentationen von fundamentaler Bedeutung sind, sowohl in praktischer wie in theoretischer Hinsicht.
Das erste Problem ist das offensichtlichste: Wenn man in der Gruppe
konkret rechnen will, dann muss man Elemente vergleichen und feststellen können, ob sie gleich oder verschieden sind. Da alle Elemente als Wörter über der erzeugenden Menge
geschrieben werden können, führt dies unmittelbar auf folgendes Wortproblem:
- Gegeben sei eine endliche Präsentation
der Gruppe
.
- Zu gegebenen Wörtern
bestimme man, ob sie dasselbe Element in
darstellen.
Hierzu ist folgendes Problem äquivalent, mittels
:
- Zu einem gegebenen Wort
bestimme man, ob
in der Gruppe
das neutrale Element darstellt.
Nach Konstruktion von
muss man also bestimmen, ob
im Normalteiler
liegt oder nicht. Selbst bei einer kleinen Menge
von Relationen ist der so erzeugte Normalteiler
jedoch riesig. Immerhin kann man die Menge
systematisch aufzählen und damit ist das Wortproblem stets semi-entscheidbar: Wenn
gilt, dann findet man dies nach endlich langer Zeit als Konsequenz der Relationen. Gilt hingegen
, dann findet die Aufzählung von
kein Ende.
Der Satz von Novikov-Boone besagt, dass das Wortproblem im Allgemeinen algorithmisch unlösbar ist.
Das Konjugationsproblem ähnelt dem Wortproblem, ist aber im Allgemeinen noch schwieriger:
- Gegeben sei eine endliche Präsentation
der Gruppe
.
- Zu gegebenen Wörtern
bestimme man, ob sie konjugierte Elemente in
darstellen.
Mit
enthält man hier das Wortproblem als Spezialfall.
Ebenso wie das Wortproblem ist das Konjugationsproblem nur semi-entscheidbar und im Allgemeinen algorithmisch unlösbar.
Das dritte und schwierigste der Dehnschen Probleme ist das Isomorphieproblem:
- Gegeben seien zwei endliche Präsentationen
und
.
- Man bestimme, ob die so präsentierten Gruppen
und
isomorph sind.
Die oben erklärten Tietze-Transformationen beschreiben, wie man Präsentationen ineinander umformen kann. Ausgehend von einer gegebenen Präsentation kann man somit alle äquivalenten Präsentationen aufzählen. Ebenso wie das Wort- und Konjugationsproblem ist das Isomorphieproblem nur semi-entscheidbar und im Allgemeinen algorithmisch unlösbar.
- Roger C. Lyndon, Paul E. Schupp: Combinatorial group theory. Reprint of the 1977 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001. ISBN 3-540-41158-5.
- Joseph J. Rotman: An introduction to the theory of groups. Fourth edition. Graduate Texts in Mathematics, 148. Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-94285-8.
- Max Dehn: Papers on group theory and topology. Translated from the German and with introductions and an appendix by John Stillwell. With an appendix by Otto Schreier. Springer-Verlag, New York, 1987. ISBN 0-387-96416-9.
- Wilhelm Magnus, Abraham Karrass, Donald Solitar: Combinatorial Group Theory. Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations. Interscience, New York 1966, 2. Auflage, Dover 1976.