Quanten-Fouriertransformation

Die Quanten-Fouriertransformation ist ein Algorithmus aus dem Gebiet der Quanteninformatik. Sie ist eine Zerlegung der diskreten Fouriertransformation in ein Produkt unitärer Matrizen. Dadurch kann sie als Quantenschaltkreis aus Hadamard-Gattern und Phasengattern implementiert werden.

Die Quanten-Fouriertransformation ist ein wesentlicher Bestandteil eines der prominentesten Quantenalgorithmen, des Shor-Algorithmus.

Quantenschaltkreis

Am einfachsten wird die Struktur der Quanten-Fouriertransformation anhand des entsprechenden Quantenschaltkreises sichtbar. In Abbildung 1 findet man ihn für ${\displaystyle n=3}$ (ohne die noch erforderliche Umkehrung der Reihenfolge der Zustände der Ausgaben). Dort ist die übliche Notation für die binäre Darstellung der Phasenterme genutzt, d. h. ${\displaystyle [0.x_{1}x_{2}\dots x_{n}]=x_{1}/2+x_{2}/4~+\dots +~x_{n}/2^{n}}$ usw.

Abbildung 1: QFT für 3 Qubits (ohne Umkehrung der Reihenfolge der Zustände der Ausgaben)

Die Situation für 1-, 2- und 3-Qubit-Register wird auf der Seite des Wolfram Demonstrations Project dargestellt.^[1]

Daran kann man leicht erkennen, wie die Schaltkreise für größere Quantenregister aussehen. Die mit ${\displaystyle H}$ beschrifteten Quantengatter stellen Hadamard-Gatter dar, während die mit ${\displaystyle R_{m}}$ beschrifteten Gatter Phasengatter repräsentieren, die hier als gesteuerte Gatter eingesetzt werden (Steuer-Qubit wie üblich durch schwarzen Punkt und Verbindungslinie zum Ziel-Qubit angedeutet; Controlled Phase).

Die einzelnen Gatter werden jeweils durch folgende unitäre Matrizen beschrieben.

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\quad R_{m}={\begin{pmatrix}1&0\\0&\zeta _{m}\end{pmatrix}}}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \zeta _{m}}$ die ${\displaystyle 2^{m}}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle e^{\frac {2\pi i}{2^{m}}}}$.

Abbildung 2: QFT für n Qubits (ohne Umkehrung der Reihenfolge der Zustände der Ausgaben)

Eine verallgemeinerte Schaltskizze ist in Abbildung 2 zu sehen, wieder ohne die erforderliche Umkehrung der Reihenfolge der Ausgabe-Zustände. Hier ist wieder die binäre Darstellung in den Ausgabezuständen genutzt.

Die Quanten-Fouriertransformation benötigt bei ${\displaystyle n}$ Qubits insgesamt ${\displaystyle O(n^{2})}$ Gatter für den entsprechenden Schaltkreis sowie ${\displaystyle O(n)}$ weitere, um die Output-Qubits in die richtige Ordnung zu bringen.

Mathematische Beschreibung

In der Quanteninformatik werden Algorithmen durch ihre Wirkung auf ein Quantenregister beschrieben. Die Quanten-Fouriertransformation arbeitet auf einem Quantenregister mit ${\displaystyle n}$ Qubits, wobei dessen ${\displaystyle N=2^{n}}$ Basiszustände unter Verwendung der Bra-Ket-Notation folgendermaßen notiert werden:

${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,\ldots ,|N-1\rangle }$

Als diskrete Fouriertransformation bildet auch die Quanten-Fouriertransformation jeden Basiszustand ${\displaystyle |x\rangle }$ auf eine Überlagerung aller Basiszustände ab:

${\displaystyle \operatorname {QFT} _{N}|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j=0}^{N-1}\zeta _{n}^{x\cdot j}|j\rangle }$

mit ${\displaystyle \zeta _{n}=\exp \left({\tfrac {2\pi \mathrm {i} }{N}}\right)}$ der N-ten Einheitswurzel. Alternativ kann die Quanten-Fouriertransformation auch mittels der folgenden Faktorisierung berechnet werden:

${\displaystyle \operatorname {QFT} _{N}|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\cdot \left(|0\rangle +\zeta _{1}^{x}|1\rangle \right)\otimes \left(|0\rangle +\zeta _{2}^{x}|1\rangle \right)\otimes \left(|0\rangle +\zeta _{3}^{x}|1\rangle \right)\otimes \cdots \otimes \left(|0\rangle +\zeta _{n}^{x}|1\rangle \right)}$

Berechnet man sie mit Hilfe der Verallgemeinerung der obigen Quantenschaltkreis-Idee, erhält man fast die obige Faktorisierung, allerdings in umgekehrter Reihenfolge, konkret:

${\displaystyle |x\rangle \longmapsto {\frac {1}{\sqrt {N}}}\cdot \left(|0\rangle +\zeta _{n}^{x}|1\rangle \right)\otimes \left(|0\rangle +\zeta _{n-1}^{x}|1\rangle \right)\otimes \left(|0\rangle +\zeta _{n-2}^{x}|1\rangle \right)\otimes \cdots \otimes \left(|0\rangle +\zeta _{1}^{x}|1\rangle \right)}$

Eigenschaften

Wendet man die Quanten-Fouriertransformation auf den Zustand ${\displaystyle |0\rangle }$ an, so erzeugt sie genauso wie die Hadamard-Transformation eine gleichgewichtete Superposition der Basiszustände:

${\displaystyle \operatorname {QFT} _{N}|0\rangle =\operatorname {H} _{N}|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{x=0}^{N-1}|x\rangle }$

Des Weiteren besitzt die Quanten-Fouriertransformation natürlich auch alle Eigenschaften der diskreten Fouriertransformation.

Quellen und Einzelnachweise

Allgemeine Quellen

• M. Homeister: Quantum Computing verstehen. fünfte Auflage, Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2018, ISBN 978-3-658-22883-5, S. 214ff.
• B. Lenze: Mathematik und Quantum Computing. zweite Auflage, Logos Verlag, Berlin 2020, ISBN 978-3-8325-4716-5, S. 67ff.
• M. A. Nielsen, I. L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge MA 2010, ISBN 978-1-107-00217-3, S. 216 ff. (wordpress.com [PDF]). 
• W. Scherer: Mathematik der Quanteninformatik. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-49079-2, S. 180ff.
• C.P. Williams: Explorations in Quantum Computing. zweite Auflage, Springer-Verlag, London 2011, ISBN 978-1-84628-886-9, S. 140ff.

Einzelnachweise

1. Quantum Fourier Transform Circuit. WOLFRAM TECHNOLOGIES, abgerufen am 24. September 2019 (englisch). 

Weblinks

• Alexandra Waldherr: Quantencomputer programmieren: Nur eine Phase? heise online 2. Dezember 2022