Rapidität (Physik)

Die Rapidität ist ein alternatives Maß für Geschwindigkeit, das in der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird. Als Formelzeichen wird meist ${\displaystyle \theta }$ (kleines Theta) verwendet. Erstmals formuliert wurde der Begriff im Jahr 1911 von Alfred Robb.

Die Rapidität ist definiert als

${\displaystyle \theta =\operatorname {artanh} (v/c),}$

wobei

• ${\displaystyle v}$ die Geschwindigkeit und
• ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit
• ${\displaystyle \operatorname {artanh} }$ die Areatangens-hyperbolicus-Funktion ist.

Die Rapidität misst die Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit, die ein beschleunigter Körper ohne relativistische Effekte hätte. Die Rapidität ist daher unbeschränkt (Wertebereich ${\displaystyle \theta =(-\infty ,+\infty )}$), was eine natürlichere Betrachtungsweise darstellt als die Beschränkung der tatsächlichen Geschwindigkeit, die niemals die Lichtgeschwindigkeit überschreiten kann (Wertebereich ${\displaystyle v=(-c,+c)}$).

Außerdem hat die Rapidität den Vorteil, dass zwei Rapiditäten einfach addiert werden können, während man bei Geschwindigkeiten das relativistische Additionstheorem verwenden muss.^[1]

Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten nähert sich die Rapidität dem Wert von ${\displaystyle {\frac {v}{c}}}$ an:

${\displaystyle v\ll c\Leftrightarrow v/c\ll 1\Rightarrow \theta \approx v/c.}$

In der Teilchenphysik

Anstelle der exakten Formel

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+cp}{E-cp}}\right)}$

mit

• ${\displaystyle \beta =v/c}$
• Energie ${\displaystyle E}$
• Impuls ${\displaystyle p=|{\vec {p}}|}$

wird in der experimentellen Teilchenphysik oft eine relativ zur Strahlachse definierte Rapidität gemäß

${\displaystyle \theta _{\text{Beamline}}={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+cp_{L}}{E-cp_{L}}}\right)}$

verwendet, worin der Longitudinalimpuls ${\displaystyle p_{L}}$ die Impulskomponente entlang der Strahlachse ist.

Die verwandte Größe der Pseudorapidität ist definiert als^[2]

${\displaystyle \eta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {p+p_{L}}{p-p_{L}}}\right).}$

Einzelnachweise

1. Theoretische Physik, Seite 327 von Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf, Springer-Verlag, 2014, abgerufen am 19. Februar 2016.
2. Theoretische Physik, Seite 372 von Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf, Springer-Verlag, 2014, abgerufen am 19. Februar 2016.