Reziprokenregel

Die Reziprokenregel^[1] oder Kehrwertregel^[2] dient zur Ableitung von Funktionen der Form ${\textstyle f(x)={\frac {1}{v(x)}}\,.}$ In Kurzschreibweise lautet sie

${\displaystyle \left({\frac {1}{v}}\right)'=-{\frac {v'}{v^{2}}}\,.}$

Die Reziprokenregel kann als Spezialfall der Quotientenregel mit der konstanten Funktion ${\displaystyle u(x)=1}$ im Zähler aufgefasst werden.

Regel

Ist die Funktion ${\displaystyle v(x)}$ von einem Intervall ${\displaystyle D}$ in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ mit ${\displaystyle v(x_{0})\neq 0}$ differenzierbar, so ist auch die Funktion ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle f(x)=1/v(x)}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$differenzierbar und es gilt

${\displaystyle f'(x_{0})=-{\frac {v'(x_{0})}{(v(x_{0}))^{2}}}.}$

Beispiel

Die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sin(x)}}}$

berechnet sich an allen Stellen ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle \sin(x)\neq 0}$ nach der Reziprokenregel zu

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}}$.

Dabei wurde benutzt, dass die Kosinusfunktion die Ableitung der Sinusfunktion ist.

Beweis

Ist ${\displaystyle v}$ an ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar, so ist ${\displaystyle v}$ dort insbesondere stetig. Unter der Voraussetzung ${\displaystyle v(x_{0})\neq 0}$ gibt es deshalb eine Umgebung von ${\displaystyle x_{0}}$, in der überall ${\displaystyle v(x)\neq 0}$ ist. In dieser Umgebung ist der Differenzenquotient

${\displaystyle {\frac {1/v(x)-1/v(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

von ${\textstyle f(x)=1/v(x)}$ wohldefiniert. Bildet man den Hauptnenner der Brüche im Zähler und wendet grundlegende Bruchrechengesetze an, so erhält man für den Differenzenquotienten die Darstellung

${\displaystyle -{\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}\cdot {\frac {1}{v(x)v(x_{0})}}}$.

Beim Grenzübergang ${\displaystyle x\to x_{0}}$ strebt der erste Faktor gegen ${\displaystyle v'(x_{0})}$ und der zweite Faktor gegen ${\textstyle 1/v(x_{0})^{2}}$. Also ist

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=-{\frac {v'(x_{0})}{v(x_{0})^{2}}}.}$

Einzelnachweise

1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 271.
2. Kehrwertregel für Ableitungen. In: Formelsammlung-Mathe.de. Abgerufen am 15. August 2019.