Rydberg-Formel

Die Rydberg-Formel in einem Manuskript von Johannes Rydberg

Die Rydberg-Formel (auch Rydberg-Ritz-Formel) wird in der Atomphysik benutzt, um das Linienspektrum des vom Wasserstoff emittierten Lichtes zu bestimmen. Sie zeigt, dass die Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoffatom umgekehrt proportional zum Quadrat der Hauptquantenzahl ist.

Die Formel wurde am 5. November 1888 vom schwedischen Physiker Johannes Rydberg vorgestellt; auch Walter Ritz arbeitete an ihr.

Korrekturen aufgrund von Drehimpulsen oder relativistischen Effekten werden in der Rydberg-Formel nicht berücksichtigt. Später wurde sie erweitert, um das Spektrum anderer Elemente zu bestimmen (s. u. Erweiterungen).

Rydberg-Formel für Wasserstoff

Formulierung

Die Rydberg-Formel lautet:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=R_{\infty }\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

Dabei sind

• ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {vac} }}$ die Wellenlänge des Lichts im Vakuum
• ${\displaystyle R}$ die Rydberg-Konstante für das betrachtete Wasserstoff-Isotop: ${\displaystyle R={\tfrac {R_{\infty }}{1+{\frac {m_{\mathrm {e} }}{M}}}}}$ mit
  • ${\displaystyle M}$ die Kernmasse des vorliegenden Wasserstoff-Isotops
  • ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$ die Masse des Elektrons
  • ${\displaystyle R_{\infty }}$ die Rydberg-Konstante für unendliche Kernmasse. Da

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\mathrm {e} }\,&\ll M\\[4pt]\Rightarrow {\frac {m_{\mathrm {e} }}{M}}&\ll 1\quad (\mathrm {Quotient} \approx {\tfrac {1}{1835}}\mathrm {\;bei\;leichtem\;Wasserstoff,\;} {\tfrac {1}{3670}}\mathrm {\;bei\;Deuterium\;und\;} {\tfrac {1}{5497}}\mathrm {\;bei\;Tritium} )\\\Rightarrow 1+{\frac {m_{\mathrm {e} }}{M}}&\approx 1\\[4pt]\Rightarrow R\;&\approx R_{\infty }\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle n_{1}}$ und ${\displaystyle n_{2}}$ ganzzahlige Werte der Hauptquantenzahl (mit ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$): ${\displaystyle n_{2}}$ ist die Quantenzahl des Orbits, von dem aus das Elektron in den tiefer gelegenen Orbit ${\displaystyle n_{1}}$ übergeht – also etwa vom dritten Orbit ${\displaystyle n_{2}=3}$ in den zweiten ${\displaystyle n_{1}=2}$ (siehe Bohrsches Atommodell).

Energie

Für die Energie des emittierten Photons gilt:

${\displaystyle E={\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}\cdot c\cdot h}$

mit

• Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ im Vakuum
• Planckscher Konstante ${\displaystyle h}$.

Entsprechend gilt für die Energiestufen der beiden o. g. Orbits im Atom (siehe Rydberg-Energie):

${\displaystyle E_{1}={\frac {R}{n_{1}^{2}}}\cdot c\cdot h}$

${\displaystyle E_{2}={\frac {R}{n_{2}^{2}}}\cdot c\cdot h}$.

Mit ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$ folgt daraus:

${\displaystyle \Rightarrow E_{1}>E_{2}}$.

Nachdem die Bedeutung der Hauptquantenzahl ${\displaystyle n}$ im Term ${\displaystyle {\tfrac {R}{n^{2}}}}$ für die Energieniveaus erkannt worden war, bürgerten sich die Begriffe Termsymbol und Termschema für damit zusammenhängende Werkzeuge ein.

Spektrallinien-Serien

Energieniveaus des Wasserstoffatoms mit nach Serien geordneten Übergängen

Mit ${\displaystyle n_{1}=1}$ (Grundzustand) und ${\displaystyle n_{2}\in (2...\infty )}$ erhält man eine Serie von Spektrallinien, die auch Lyman-Serie genannt wird. Der erste Übergang der Serie hat eine Wellenlänge von 121 nm, die Seriengrenze liegt bei 91 nm. Analog ergeben sich die anderen Serien:

${\displaystyle n_{1}}$	${\displaystyle n_{2}}$	Name	Wellenlänge
			des ersten Übergangs (α-Linie)	konvergiert gegen Grenzwert
01	2 bis ∞	Lyman-Serie	121 nm	91,13 nm
02	3 bis ∞	Balmer-Serie	656 nm	364,51 nm
03	4 bis ∞	Paschen-Serie	1.874 nm	820,14 nm
04	5 bis ∞	Brackett-Serie	4.051 nm	1458,03 nm
05	6 bis ∞	Pfund-Serie	7.456 nm	2278,17 nm
06	7 bis ∞	Humphreys-Serie	12.365 nm	3280,56 nm

Erweiterungen

Für wasserstoffähnliche Atome

Für wasserstoffähnliche Ionen, d. h. Ionen, die nur ein einziges Elektron besitzen, wie z. B. ₂He⁺, ₃Li²⁺, ₄Be³⁺ oder ₁₁Na¹⁰⁺, lässt sich obige Formel erweitern zu:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=Z^{2}\cdot R_{\infty }\left({\frac {1}{{n'}_{1}^{2}}}-{\frac {1}{{n'}_{2}^{2}}}\right)}$

mit

• der Kernladungszahl ${\displaystyle Z}$, d. h. der Anzahl der Protonen im Atomkern
• die um den Quantendefekt ${\displaystyle \delta _{n}}$ korrigierten effektiven Hauptquantenzahlen ${\displaystyle n'_{i}=n_{i}-\delta _{n}}$.

Für Atome mit einem Valenzelektron

Eine weitere Verallgemeinerung auf die Lichtemission von Atomen, die in ihrer äußersten Schale ein einzelnes Elektron besitzen, darunter aber evtl. weitere Elektronen in abgeschlossenen Schalen, führt zum Moseleyschen Gesetz.

Literatur

• Joseph Reader, Charles H. Corliss: Line Spectra of the Elements. In: CRC Handbook of Chemistry and Physics

Weblinks

• Umfangreiche Datenbank mit 568 Emissionslinien des Wasserstoffs des National Institute of Standards and Technology (A. Kramida, Yu. Ralchenko, J. Reader, and NIST ASD Team (2014). NIST Atomic Spectra Database (ver. 5.2))