Sasaki-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik sind Sasaki-Mannigfaltigkeiten oder Sasaki-Strukturen ein Begriff der Differentialgeometrie. Es handelt sich um Riemannsche Kontaktmannigfaltigkeiten mit einer gewissen Kompatibilitätsbedingung zwischen der Riemannschen Metrik und der Kontaktform.

Definitionen

Für eine Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit einer Riemannschen Metrik ${\displaystyle g}$ hat man auf ${\displaystyle M\times \left(0,\infty \right)}$ die Kegelmetrik ${\displaystyle t^{2}g+dt^{2}}$.

Für eine Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit einer Kontaktform ${\displaystyle \alpha }$ ist ${\displaystyle t^{2}d\alpha +2tdt\wedge \alpha }$ eine symplektische Form auf ${\displaystyle M\times \left(0,\infty \right)}$.

Eine Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit einer Riemannschen Metrik ${\displaystyle g}$ und einer Kontaktform ${\displaystyle \alpha }$ heißt Sasaki-Mannigfaltigkeit, wenn ${\displaystyle M\times \left(0,\infty \right)}$ eine Kähler-Mannigfaltigkeit mit Kähler-Metrik ${\displaystyle t^{2}g+dt^{2}}$ und Kähler-Form ${\displaystyle t^{2}d\alpha +2tdt\wedge \alpha }$ ist.

Beispiele

• Der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$ mit Koordinaten ${\displaystyle (x_{1},y_{1},\ldots ,x_{n},y_{n},z)}$ ist mit der Kontaktform ${\displaystyle \textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}dz+\sum _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}}$ und der Metrik ${\displaystyle \textstyle \alpha ^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}+dy_{i}^{2}}$ eine Sasaki-Mannigfaltigkeit.
• Die Sphäre mit der Standardmetrik und der Standardkontaktform ist eine Sasaki-Mannigfaltigkeit. Ebenso ist der als Quotient der antipodalen ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$-Wirkung erhaltene projektive Raum eine Sasaki-Mannigfaltigkeit.

Literatur

• Shigeo Sasaki, On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure, Tohoku Math. J. 2, 459–476 (1960).
• Charles Boyer, Krzysztof Galicki: Sasakian Geometry, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press (2008). ISBN 978-0-19-856495-9/hbk

Weblinks

• Sasakian manifold (Encyclopedia of Mathematics)
• Sasakian manifold (nLab)