Schläfli-Symbol

Das Schläfli-Symbol, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli, wird in der Form ${\displaystyle \left\{p,q,r,\dots \right\}}$ benutzt, um reguläre Polygone, Polyeder und andere Vielflächner, auch in höheren Dimensionen, zu beschreiben.

Wenn ${\displaystyle p}$ eine natürliche Zahl ist, beschreibt das Symbol ${\displaystyle {p}}$ ein regelmäßiges Polygon (${\displaystyle p}$-Eck).

Ist ${\displaystyle p}$ ein nicht notwendig gekürzter Bruch, dann beschreibt es einen Stern.

Das Symbol ${\displaystyle \left\{p,q\right\}}$ beschreibt eine Pflasterung mittels regelmäßiger ${\displaystyle p}$-Ecke, wobei ${\displaystyle q}$ angibt, wie viele solcher Polygone an jeder Ecke zusammenstoßen.

Die Inversion eines Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polygon.

Beispiele

Punkt

${\displaystyle \left(\right)}$ bezeichnet einen Punkt.

Strecke

${\displaystyle \left\{\right\}}$ bezeichnet eine Strecke.

Regelmäßige Polygone

${\displaystyle \left\{n\right\}}$ bezeichnet ein regelmäßiges ${\displaystyle n}$-Eck${\displaystyle .}$

Sterne

Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen ${\displaystyle \left\{n/k\right\}}$, wobei ${\displaystyle n}$ die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder ${\displaystyle k}$-te Punkt verbunden wird.

Beispiel

Der Fünfstrahlstern ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte jedes Mal

• immer einer (beim ${\displaystyle \left\{5/2\right\}}$) oder
• immer zwei Punkte (beim ${\displaystyle \left\{5/3\right\}}$) übersprungen werden und dadurch die erzeugten Sehnen gleich lang sind.

keine vom Dreieck keine vom Viereck 1 Pentagramm vom Fünfeck ${\displaystyle \left\{5/2\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{5/3\right\}}$ ${\displaystyle }$ keine vom Sechseck 2 Heptagramme vom Siebeneck ${\displaystyle \left\{7/2\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{7/5\right\}}$ ${\displaystyle \left\{7/3\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{7/4\right\}}$ 1 Oktogramm vom Achteck ${\displaystyle \left\{8/3\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{8/5\right\}}$ 2 Ennea- gramme vom Neuneck ${\displaystyle \left\{9/2\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{9/7\right\}}$ ${\displaystyle \left\{9/4\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{9/5\right\}}$ 1 Dekagramm vom Zehneck ${\displaystyle \left\{10/3\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{10/7\right\}}$ 4 Hendeka- gramme vom Elfeck ${\displaystyle \left\{11/2\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{11/9\right\}}$ ${\displaystyle \left\{11/3\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{11/8\right\}}$ ${\displaystyle \left\{11/4\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{11/7\right\}}$ ${\displaystyle \left\{11/5\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{11/6\right\}}$ 1 Dodeka- gramm vom Zwölfeck ${\displaystyle \left\{12/5\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{12/7\right\}}$ 5 Trideka- gramme vom 13-Eck ${\displaystyle \left\{13/2\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{13/11\right\}}$ ${\displaystyle \left\{13/3\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{13/10\right\}}$ ${\displaystyle \left\{13/4\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{13/9\right\}}$ ${\displaystyle \left\{13/5\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{13/8\right\}}$ ${\displaystyle \left\{13/6\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{13/7\right\}}$ 2 Tetradeka- gramme vom 14-Eck ${\displaystyle \left\{14/3\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{14/11\right\}}$ ${\displaystyle \left\{14/5\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{14/9\right\}}$ 3 Pentadeka- gramme vom 15-Eck ${\displaystyle \left\{15/2\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{15/13\right\}}$ ${\displaystyle \left\{15/4\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{15/11\right\}}$ ${\displaystyle \left\{15/7\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{15/8\right\}}$ 3 Hexadeka- gramme vom 16-Eck ${\displaystyle \left\{16/3\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{16/13\right\}}$ ${\displaystyle \left\{16/5\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{16/11\right\}}$ ${\displaystyle \left\{16/7\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{16/9\right\}}$

7 Heptadeka- gramme vom 17-Eck ${\displaystyle \left\{17/2\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{17/15\right\}}$ ${\displaystyle \left\{17/3\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{17/14\right\}}$ ${\displaystyle \left\{17/4\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{17/13\right\}}$ ${\displaystyle \left\{17/5\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{17/12\right\}}$ ${\displaystyle \left\{17/6\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{17/11\right\}}$ ${\displaystyle \left\{17/7\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{17/10\right\}}$ ${\displaystyle \left\{17/8\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{17/9\right\}}$ 2 Oktodeka- gramme vom 18-Eck ${\displaystyle \left\{18/5\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{18/13\right\}}$ ${\displaystyle \left\{18/7\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{18/11\right\}}$ 8 Enneadeka- gramme vom 19-Eck ${\displaystyle \left\{19/2\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{19/17\right\}}$ ${\displaystyle \left\{19/3\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{19/16\right\}}$ ${\displaystyle \left\{19/4\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{19/15\right\}}$ ${\displaystyle \left\{19/5\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{19/14\right\}}$ ${\displaystyle \left\{19/6\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{19/13\right\}}$ ${\displaystyle \left\{19/7\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{19/12\right\}}$ ${\displaystyle \left\{19/8\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{19/11\right\}}$ ${\displaystyle \left\{19/9\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{19/10\right\}}$ 3 Ikosa- gramme vom 20-Eck ${\displaystyle \left\{20/3\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{20/17\right\}}$ ${\displaystyle \left\{20/7\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{20/13\right\}}$ ${\displaystyle \left\{20/9\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{20/11\right\}}$ 5 Ikosihen- gramme vom 21-Eck ${\displaystyle \left\{21/2\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{21/19\right\}}$ ${\displaystyle \left\{21/4\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{21/17\right\}}$ ${\displaystyle \left\{21/5\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{21/16\right\}}$ ${\displaystyle \left\{21/8\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{21/13\right\}}$ ${\displaystyle \left\{21/10\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{21/11\right\}}$ 04 Doikosagramme vom 22-Eck 10 Trikosagramme vom 23-Eck 03 Tetraikosagramme vom Vierundzwanzigeck

Platonische Körper

${\displaystyle \left\{p,q\right\}}$: p ist die Zahl der Ecken des verwendeten Polygons; q ist die Zahl der an einer Ecke zusammenstoßender Polygone

${\displaystyle \left\{3,3\right\}}$ bezeichnet das selbstduale Tetraeder.

${\displaystyle \left\{3,4\right\}}$ bezeichnet das Oktaeder, die Inversion ${\displaystyle \left\{4,3\right\}}$ den zum Oktaeder dualen Würfel.

${\displaystyle \left\{3,5\right\}}$ bezeichnet das Ikosaeder, die Inversion ${\displaystyle \left\{5,3\right\}}$ das zum Ikosaeder duale Dodekaeder.

Platonische Parkette

${\displaystyle \left\{3,6\right\}}$ bezeichnet die Dreieckparkettierung, die Inversion ${\displaystyle \left\{6,3\right\}}$ die zur Dreieckparkettierung duale Sechseckparkettierung.

${\displaystyle \left\{4,4\right\}}$ bezeichnet die selbstduale Quadratparkettierung.

• Das entscheidende Merkmal, worin sich das Schläfli-Symbol eines Platonischen Körpers ${\displaystyle \left\{m,n\right\}}$ von dem eines Platonischen Parketts ${\displaystyle \left\{m,n\right\}}$ unterscheidet, ist, dass für einen Körper ${\displaystyle 2\cdot (m+n)>m\cdot n}$ gilt, für ein Parkett hingegen ${\displaystyle 2\cdot (m+n)=m\cdot n}$.

Kepler-Poinsot-Körper

${\displaystyle \left\{3,5/2\right\}}$ bezeichnet das Große Ikosaeder, die Inversion ${\displaystyle \left\{5/2,3\right\}}$ das zum Großen Ikosaeder duale Große Sterndodekaeder.

${\displaystyle \left\{5,5/2\right\}}$ bezeichnet das Große Dodekaeder, die Inversion ${\displaystyle \left\{5/2,5\right\}}$ das zum Großen Dodekaeder duale Kleine Sterndodekaeder.

Vierdimensionale Körper

${\displaystyle \left\{3,3,3\right\}}$ bezeichnet das Pentachoron,

${\displaystyle \left\{4,3,3\right\}}$ den vierdimensionalen Würfel (Tesserakt), das Duale ${\displaystyle \left\{3,3,4\right\}}$ dazu den regulären 16-Zeller (Hexadekachor),

${\displaystyle \left\{3,4,3\right\}}$ den regulären 24-Zeller (Ikositetrachor).

Mehrdimensionale Körper

${\displaystyle \left\{3,3,3,3\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{3^{4}\right\}}$ bezeichnet das 5-Simplex ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{5}}$.

${\displaystyle \left\{3,3,3,3,3\right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{3^{5}\right\}}$ bezeichnet das 6-Simplex ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{6}}$.

${\displaystyle \left\{3^{d-1}\right\}}$ bezeichnet das d-Simplex ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\;\!\!d}}$.

Siehe auch

• Coxeter-Diagramm

Literatur

• Harold Scott MacDonald Coxeter: Regular Polytopes. New York, Pitman 1948; 2. Auflage, MacMillan 1963; 3. Auflage, Dover 1983.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Schläfli-Symbol. In: MathWorld (englisch).