Selbstadjungiertes Element

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra selbstadjungiert, wenn sein Adjungiertes dasselbe Element ist.

Definition

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine *-Algebra, so heißt ein Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ selbstadjungiert, falls ${\displaystyle a=a^{*}}$ gilt.

Die Menge der selbstadjungierten Elemente wird mit ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$ bezeichnet.

Eine Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$, die unter der Involution * abgeschlossen ist, also ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{*}}$ erfüllt, heißt selbstadjungiert.

Besonders interessant ist der Fall, bei dem ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft (${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

Vor allem in der älteren Literatur zu *-Algebren bzw. C*-Algebren werden solche Elemente häufig auch hermitesch genannt. Auch in der neueren Literatur finden sich teilweise in Anlehnung daran die Schreibweisen ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{h}}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}}$ oder ${\displaystyle H({\mathcal {A}})}$ für die Menge der selbstadjungierten Elemente.

Beispiele

• Jedes positive Element einer C*-Algebra ist selbstadjungiert.
• Für jedes Element ${\displaystyle a}$ einer *-Algebra sind die Elemente ${\displaystyle aa^{*}}$ und ${\displaystyle a^{*}a}$ selbstadjungiert, da * ein involutiver Antiautomorphismus ist.
• Für jedes Element ${\displaystyle a}$ einer *-Algebra sind Real- und Imaginärteil ${\textstyle \operatorname {Re} (a)={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ und ${\textstyle \operatorname {Im} (a)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$ selbstadjungiert, wobei ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die imaginäre Einheit bezeichnet.
• Sei ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ein normales Element einer C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, dann definiert jede reellwertige Funktion ${\displaystyle f}$, die auf dem Spektrum von ${\displaystyle a}$ stetig ist, mittels stetigem Funktionalkalkül ein selbstadjungiertes Element ${\displaystyle f(a)}$.

Kriterien

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine *-Algebra. Dann gilt:

• Sei ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$, dann ist ${\displaystyle a^{*}a}$ selbstadjungiert, da ${\displaystyle (a^{*}a)^{*}=a^{*}(a^{*})^{*}=a^{*}a}$ gilt. Analog rechnet man nach, dass auch ${\displaystyle aa^{*}}$ selbstadjungiert ist.
• Ist ${\displaystyle a=a_{1}a_{2}}$ das Produkt zweier selbstadjungierter Elemente ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$. Dann ist ${\displaystyle a}$ genau dann selbstadjungiert, wenn ${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle a_{2}}$ kommutieren, da stets ${\displaystyle (a_{1}a_{2})^{*}=a_{2}^{*}a_{1}^{*}=a_{2}a_{1}}$ gilt.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine C*-Algebra, so ist ein normales Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ genau dann selbstadjungiert, wenn sein Spektrum reell ist, also ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$.

Eigenschaften

In *-Algebren

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine *-Algebra. Dann gilt:

• Jedes Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ kann eindeutig in Real- und Imaginärteil zerlegt werden, das heißt es existieren eindeutig bestimmte Elemente ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$, sodass ${\displaystyle a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}}$ gilt. Dabei ist ${\textstyle a_{1}={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ und ${\textstyle a_{2}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$.
• Die Menge der selbstadjungierten Elemente ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$ ist ein reeller Untervektorraum von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Aus der vorherigen Eigenschaft ergibt sich, dass ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ die direkte Summe zweier reeller Untervektorräume ist, also ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{sa}\oplus \mathrm {i} {\mathcal {A}}_{sa}}$.
• Sei ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ selbstadjungiert, dann ist ${\displaystyle a}$ normal.
• Die *-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ heißt hermitesche *-Algebra, wenn jedes selbstadjungierte Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ein reelles Spektrum ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$ hat.

In C*-Algebren

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine C*-Algebra und ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$. Dann gilt:

• Für das Spektrum gilt ${\displaystyle \left\|a\right\|\in \sigma (a)}$ oder ${\displaystyle -\left\|a\right\|\in \sigma (a)}$, da ${\displaystyle \sigma (a)}$ reell ist und für den Spektralradius ${\displaystyle r(a)=\left\|a\right\|}$ gilt, weil ${\displaystyle a}$ normal ist.
• Es existieren nach dem stetigen Funktionalkalkül eindeutig bestimmte positive Elemente ${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$, sodass ${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$ mit ${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$. Es gilt ${\displaystyle \left\|a\right\|=\max(\left\|a_{+}\right\|,\left\|a_{-}\right\|)}$. Man bezeichnet ${\displaystyle a_{+}}$ und ${\displaystyle a_{-}}$ auch als Positiv- und Negativteil. Darüber hinaus gilt ${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$ für den für ein beliebiges Element definierten Betrag ${\textstyle |a|=(a^{*}a)^{\frac {1}{2}}}$.
• Es existiert für jedes ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ und ungerades ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ein eindeutig bestimmtes ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$, das ${\displaystyle b^{n}=a}$ erfüllt, das heißt eine ${\displaystyle n}$-te Wurzel, wie man mit dem stetigen Funktionalkalkül zeigen kann.^[1]

Siehe auch

• Selbstadjungierte Matrix
• Selbstadjungierter Operator

Literatur

• Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.
• Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of*-algebras: Volume 2,*-algebras. Cambridge university press, 1994, ISBN 0-521-36638-0.

Einzelnachweise

1. Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 63.