Spin(7)-Mannigfaltigkeit

Eine Spin(7)-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine achtdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren Holonomiegruppe in der siebten Spin-Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Spin} (7)}$ enthalten ist. Eine Anwendung finden ${\displaystyle \operatorname {Spin} (7)}$-Mannigfaltigkeiten in der M-Theorie, einer Erweiterung und Verallgemeinerung der Stringtheorie.

Geschichte

Erstmals vorgeschlagen wurde die Existenz von ${\displaystyle \operatorname {Spin} (7)}$-Mannigfaltigkeiten von Marcel Berger im Jahr 1955. Später blieb diese Möglichkeit konsistent mit dem Beweis seines Klassifikationstheorems durch James Simons im Jahr 1962. Edmond Bonan zeigte im Jahr 1966, dass eine ${\displaystyle \operatorname {Spin} (7)}$-Mannigfaltigkeit eine parallele ${\displaystyle 4}$-Form tragen und Ricci-flach sein muss. Robert Bryant konstruierte im Jahr 1984 das erste lokale (nichtkompakte) Beispiel, wobei dieses erst im Jahr 1987 in Annals of Mathematics veröffentlicht wurde. Robert Bryant und Dietmar Salamon konstruierten im Jahr 1989 das erste vollständige (nichtkompakte) Beispiel. Dominic Joyce fand im Jahr 1996 das erste kompakte Beispiel.

Siehe auch

• G₂-Mannigfaltigkeit, siebendimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit deren Holonomiegruppe in der Untergruppe ${\displaystyle G_{2}<\operatorname {Spin} (7)}$ enthalten ist

Literatur

• Edmond Bonan: Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7). In: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris. Band 262, 1966, S. 127–129 (französisch). 
• Robert L. Bryant: Metrics with exceptional holonomy. In: Annals of Mathematics. Band 126, Nr. 2, 1987, S. 525–576 (englisch). 
• Robert L. Bryant, Simon M. Salamon: On the construction of some complete metrics with exceptional holonomy. In: Duke Mathematical Journal. Band 58, Nr. 3, 1989, S. 829–850, doi:10.1215/S0012-7094-89-05839-0 (englisch). 
• Dominic Joyce: Compact Manifolds with Special Holonomy. In: Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, 2000, ISBN 0-19-850601-5 (englisch). 
• Katrin Becker, Melanie Becker, John Schwarz: Manifolds with G2 and Spin(7) holonomy. In: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris. String Theory and M-Theory : A Modern Introduction. Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-86069-7, S. 433–455 (englisch). 
• Spiro Karigiannis: Flows of G2 and Spin(7) structures. In: Mathematical Institute. 4. Auflage. Nr. 9. University of Oxford, 2009, S. 389–463, doi:10.1093/qmath/han020 (englisch). 

Weblinks

• Spin(7) manifold, M-theory on Spin(7)-manifolds und F-theory on Spin(7)-manifolds auf nLab (englisch)