Stationärer Zustand

Dieser Artikel behandelt den Begriff der Quantenmechanik. Für die Bedeutung in der klassischen Physik siehe Gleichgewicht (Systemtheorie)#Stationärer Zustand.

Ein stationärer Zustand ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ist in der Quantenmechanik eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung. Er ist ein Eigenzustand des Hamiltonoperators ${\displaystyle H}$ des betrachteten physikalischen Systems. Seine Energie ${\displaystyle E}$ ist ein Eigenwert dieses Operators. In Dirac-Notation gilt damit für den stationären Zustand die Gleichung:^[1]

${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle .}$

In Ortsdarstellung hat ein stationärer Zustand die Form:

${\displaystyle \langle \mathbf {r} |\psi \rangle =\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ,t=0)\cdot \exp \left({-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}Et}\right)}$

mit

• ${\displaystyle \psi ()}$, der Wellenfunktion
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$, dem Ortsvektor
• ${\displaystyle \exp }$, der Exponentialfunktion
• ${\displaystyle \mathrm {i} }$, der imaginären Einheit
• ${\displaystyle \hbar }$, der reduzierten Planckschen Konstanten

Das Betragsquadrat ${\displaystyle \textstyle |\langle \mathbf {r} |\psi \rangle |^{2}}$ (die für physikalische Messungen ausschlaggebende Wahrscheinlichkeitsverteilung) der Wellenfunktion ist somit unabhängig von der Zeit ${\displaystyle t}$.

Allgemeiner werden als stationäre Zustände eines (nicht notwendigerweise abgeschlossenen) Quantensystems die Zustände bezeichnet, für die die Dichtematrix ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ des Systems zeitlich konstant ist. Dies schließt die oben genannten Eigenzustände, für diese gilt

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\left[{\hat {\rho }},{\hat {H}}\right]=0}$

ebenso ein, wie die stationären Zustände offener Quantensysteme, deren Dynamik durch eine Lindblad-Mastergleichung

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}{\mathcal {L}}(\rho )}$

gegeben ist und für die die Zustände im Kern des Liouvilleoperators ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ stationär sind, d. h. die Zustände ${\displaystyle \rho _{\mathrm {s} }}$ mit ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho _{\mathrm {s} })=0}$.

Einzelnachweise

1. Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik, 2 Bände, 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 1999, ISBN 3-11-016458-2