Stratonowitsch-Integral

Das Stratonowitsch-Integral (auch Fisk-Stratonowitsch-Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff und eine Alternative für das Itō-Integral. Beide Integrale lassen sich ineinander transformieren. Im Unterschied zu dem Itō-Integral, wo man für die Konstruktion nur den linken Endpunkt des Zerlegungsintervalls benötigt

${\displaystyle \sum Y_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}),}$

nützt man beim Stratonowitsch-Integral das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes

${\displaystyle \sum {\tfrac {1}{2}}(Y_{t_{i}}+Y_{t_{i-1}})(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).}$

Der Vorteil des Stratonowitsch-Integrals gegenüber dem Itō-Integral ist, dass die Itō-Formel nur Differentiale erster Ordnung besitzt.

Das Fisk-Stratonowitsch-Integral ist nach Ruslan Stratonowitsch und Donald Fisk benannt.

Stratonowitsch-Integral

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Semimartingale definiert auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})}$ und ${\displaystyle t\geq 0}$. Dann ist das Stratonowitsch-Integral von ${\displaystyle Y}$ bezüglich ${\displaystyle X}$ definiert als^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}:&=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sum \limits _{s\leq t}\Delta Y_{s}\Delta X_{s}\\&=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}.\end{aligned}}}$

Hier ist ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}}$ das Itō-Integral und ${\displaystyle [X,Y]_{t}^{c}}$ der stetige Teil der optionalen quadratischen Kovariation. Ferner sind die ${\displaystyle \Delta Y_{s}=Y_{s}-Y_{s-}}$ die Sprungstellen des Prozesses.

Für stetige Semimartingale

Wenn ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ stetige Semimartingale sind, dann ist

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}:&=\int _{0}^{t}Y_{s}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}\\&=(Y\cdot X)_{t}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t},\end{aligned}}}$

oder in Differentialschreibweise

${\displaystyle Y_{t}\circ dX_{t}:=Y_{t}dX_{t}+{\tfrac {1}{2}}d[Y,X]_{t}.}$

Erläuterungen

• Die Definition des Stratonowitsch-Integrales lässt sich verallgemeinern, so dass ${\displaystyle Y}$ nicht mehr ein Semimartingal ist, sondern lediglich adaptiert und càdlàg.

Herleitung

Das Stratonowitsch-Integral erhält man, wenn man das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes des Zerlegungsintervall nimmt. Sei ${\displaystyle \Delta }$ eine Partition von ${\displaystyle [0,t]}$ und ${\displaystyle X,Y}$ stetige Semimartingale. Dann gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}=\lim \limits _{|\Delta |\to 0}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {Y_{t_{i}}+Y_{t_{i-1}}}{2}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).\end{aligned}}}$

Beziehung zwischen dem Itō- und Stratonowitsch-Integral

Es gilt folgende Beziehung zwischen den beiden Integralbegriffen

${\displaystyle \int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}=\int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}-{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}.}$

Wenn ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ stetige Semimartingale sind, dann gilt

${\displaystyle (Y\cdot X)_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}-{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}.}$

Itō-Formeln

Sei ${\displaystyle X=(X^{1},\dots ,X^{n})}$ ein ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-Semimartingal und ${\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$, dann ist ${\displaystyle f(X)}$ ein Semimartingal und es gilt^[2]

${\displaystyle f(X_{t})-f(X_{0})=\sum \limits _{i=1}^{n}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s-})\circ dX_{s}^{i}+\sum \limits _{0<s\leq t}\left(f(X_{s})-f(X_{s-})-\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{i}\right).}$

Das Integrationsgebiet ${\displaystyle 1_{[0+,t]}}$ bedeutet ${\displaystyle 1_{(0,t]}}$.

Für stetige Semimartingale

Sei ${\displaystyle X=(X^{1},\dots ,X^{n})}$ ein stetiges ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-Semimartingal und ${\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$, dann ist ${\displaystyle f(X)}$ ein Semimartingal und es gilt

${\displaystyle f(X_{t})-f(X_{0})=\sum \limits _{i=1}^{n}\int _{0}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s})\circ dX_{s}^{i}.}$

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung für Semimartingale mit Sprüngen ist das Marcus-Integral, welches man durch Umschreiben des Sprung-Terms erhält.

Das Ogawa-Integral verallgemeinert das Stratonowitsch-Integral.

Literatur

• Wolfgang Hackenbroch und Anton Thalmaier: Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale. Hrsg.: Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden. ISBN 978-3-519-02229-9, S. 349–544. 
• Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4. 
• Bernt K. Øksendal, Bernt K.: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Hrsg.: Springer, Berlin. 2003, ISBN 3-540-04758-1. 

Einzelnachweise

1. Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 82. 
2. Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 277–278.