Tensorverjüngung

Dieser Artikel beschreibt Kontraktion aus Sicht der Tensoranalysis. Für die Analysis siehe Kontraktion (Mathematik).

Die Tensorverjüngung oder Kontraktion^[1][2] ist ein mathematischer Begriff aus der linearen Algebra mit Verwendung in der Tensoranalysis und Tensoralgebra. Es ist eine Verallgemeinerung der Spur einer linearen Abbildung auf Tensoren, die mindestens einfach kovariant und einfach kontravariant sind. Anwendungen finden sich z. B. in der Relativitätstheorie^[3] (siehe auch Längenkontraktion), Mechanik^[4] usw.^[5]

Definition

Sei ${\displaystyle V}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum und sei

${\displaystyle T_{s}^{r}(V):=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r{\text{-mal}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{s{\text{-mal}}}}$

der Tensorraum der ${\displaystyle r}$-fach kontravarianten und ${\displaystyle s}$-fach kovarianten Tensoren (kurz: ${\displaystyle (r,s)}$-Tensoren) über ${\displaystyle V}$.

Als Verjüngung oder Kontraktion eines Tensors (genauer: ${\displaystyle (k,l)}$-Kontraktion) bezeichnet man die lineare Abbildung

${\displaystyle C_{l}^{k}:T_{s}^{r}(V)\rightarrow T_{s-1}^{r-1}(V)}$

mit ${\displaystyle 1\leq k\leq r}$ und ${\displaystyle 1\leq l\leq s}$, welche durch

${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r}\otimes \xi _{1}\otimes \cdots \otimes \xi _{s}\mapsto }$

${\displaystyle \xi _{l}(v_{k})(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{k-1}\otimes v_{k+1}\otimes \cdots \otimes v_{r}\otimes \xi _{1}\otimes \cdots \otimes \xi _{l-1}\otimes \xi _{l+1}\otimes \cdots \otimes \xi _{s})}$

definiert werden kann. Dabei ist ${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r}\otimes \xi _{1}\otimes \cdots \otimes \xi _{s}}$ ein Element von ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$. Nicht jedes Element von ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ist von dieser Form, aber die Elemente dieser Form erzeugen den Tensorraum und die Abbildung ist wohldefiniert. Setzt man ${\displaystyle n:=r+s}$, so wird also aus einem Tensor ${\displaystyle n}$-ter Stufe ein Tensor der Stufe ${\displaystyle n-2}$.

Beispiele

• Interpretiert man eine Matrix als einen einfach ko- sowie kontravarianten Tensor, so ist die Verjüngung einer Matrix ihre Spur. Dies lässt sich sehr schnell einsehen, wenn man die Matrix ${\displaystyle A\in \operatorname {End} (V)\cong V\otimes V^{*}}$ als Linearkombination
  ${\displaystyle A=\sum _{i,j}\lambda _{i}^{j}\,v_{i}\otimes \xi _{j}}$
  darstellt. Hier bilden die ${\displaystyle v_{i}}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$ und die ${\displaystyle \xi _{j}}$ die dazu duale Basis von ${\displaystyle V^{*}}$. Wendet man nun die Funktion ${\displaystyle C_{1}^{1}}$ an, so erhält man
  ${\displaystyle C_{1}^{1}(A)=C_{1}^{1}\left(\sum _{i,j}\lambda _{i}^{j}\,v_{i}\otimes \xi _{j}\right)=\sum _{i,j}\lambda _{i}^{j}\delta _{ij}=\sum _{i}\lambda _{i}^{i}=\operatorname {Spur} (A).}$
  Dies lässt erkennen, dass die Tensorverjüngung eine Verallgemeinerung des aus der linearen Algebra bekannten Spuroperators ist. Aus diesem Grund wird die Abbildung auch Spurbildung genannt.
• Man erhält aus dem riemannschen Krümmungstensor ${\displaystyle R_{ijk}^{l}}$ durch Verjüngung den Ricci-Tensor ${\displaystyle R_{ik}=R_{ijk}^{j}}$.

Literatur

Siehe die weiterführende Literatur unter Tensoranalysis.

Einzelnachweise

1. Heinz Schade, Klaus Neemann: Tensor Analysis. De Gruyter, 2018, ISBN 978-3-11-040426-5, doi:10.1515/9783110404265 (englisch, degruyter.com [abgerufen am 8. November 2022]). 
2. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. Birkhäuser Basel, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, doi:10.1007/978-3-7643-8884-3 (springer.com [abgerufen am 8. November 2022]). 
3. Ulrich E. Schröder: Spezielle Relativitätstheorie. 6. Auflage. Verlag Europa-Lehrmittel 2021, ISBN 978-3-8085-5653-5. 
4. Florian Scheck: Relativistic Mechanics. In: Mechanics. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-55488-3, S. 257–303, doi:10.1007/978-3-662-55490-6_4 (englisch, springer.com [abgerufen am 8. November 2022]). 
5. Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden, Tudor Ratiu: Applications. In: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. Band 75. Springer New York, New York, NY 1988, ISBN 978-1-4612-6990-8, S. 560–630, doi:10.1007/978-1-4612-1029-0_8 (springer.com [abgerufen am 8. November 2022]).