Unberührbare Zahl

Von jeder positiven ganzen Zahl weist ein Pfeil auf die Summe ihrer echten Teiler (9 hat zum Beispiel nur die echten Teiler 1 und 3; 1+3=4, also zeigt ein Pfeil von 9 auf 4). Auf 2 und 5 gibt es keinen Pfeil, sie sind unberührbar.

In der Zahlentheorie ist eine unberührbare Zahl (vom englischen untouchable number) eine positive ganze Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, die nicht als Summe aller echten Teiler ${\displaystyle \sigma ^{*}(k)}$ irgendeiner positiven ganzen Zahl ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ dargestellt werden kann (inklusive der unberührbaren Zahl selbst). Diese Zahlen kommen somit in keinen Inhaltsketten vor. Sie wurden erstmals von ʿAbd al-Qāhir al-Baghdādī (etwa im Jahr 1000) untersucht, der bemerkt hat, dass die beiden Zahlen 2 und 5 unberührbar sind.^[1]

Beispiele

• Die Zahl ${\displaystyle n=5}$ ist eine unberührbare Zahl.

Beweis:

Man muss zeigen, dass ${\displaystyle n=5}$ nicht als Summe der echten Teiler irgendeiner Zahl ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ dargestellt werden kann.

In einer echten Teilersumme ${\displaystyle \sigma ^{*}(k)}$ kommt kein Teiler mehrmals vor. Es gibt nur zwei Möglichkeiten, die Zahl 5 additiv mit verschiedenen Zahlen darzustellen: ${\displaystyle 5=1+4=2+3}$. Die zweite Darstellung ${\displaystyle 5=2+3}$ ist keine Teilersumme, weil die Zahl 1 fehlt, die immer in jeder Teilersumme enthalten sein muss. Die erste Darstellung kommt als Teilersumme auch nicht in Frage, weil wenn eine Zahl die Teiler 1 und 4 hat, sie auch die Zahl 2 als Teiler haben muss und somit ihre Teilersumme mindestens ${\displaystyle 1+2+4=7\not =5}$ sein muss. Somit bleibt keine Möglichkeit übrig, dass es ein ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ gibt, sodass ${\displaystyle \sigma ^{*}(k)=5}$ ist. Die Zahl 5 ist somit eine unberührbare Zahl. ${\displaystyle \Box }$

• Die Zahl ${\displaystyle n=4}$ ist keine unberührbare Zahl.

Beweis:

Man muss zeigen, dass ${\displaystyle n=4}$ die Summe der echten Teiler irgendeiner Zahl ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ist.

Es ist ${\displaystyle 4=1+3}$. Es gibt eine Zahl, die nur die Zahlen 1 und 3 als echte Teiler hat, nämlich die Zahl ${\displaystyle k=9}$. Somit ist ihre Teilersumme ${\displaystyle \sigma ^{*}(9)=1+3=4}$, womit die Zahl 4 keine unberührbare Zahl ist. ${\displaystyle \Box }$

• Die folgenden Zahlen sind die kleinsten unberührbaren Zahlen:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658, … (Folge A005114 in OEIS)

Eigenschaften

• Perfekte Zahlen sind niemals unberührbare Zahlen.
  Beweis:
  • Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ eine perfekte Zahl. Perfekte Zahlen haben die Eigenschaft, dass sie gleich ihrer echten Teilersumme sind. Es gilt also ${\displaystyle \sigma ^{*}(n)=n}$. Somit existiert eine Zahl, deren echte Teilersumme gleich ${\displaystyle n}$ ist. Somit ist ${\displaystyle n}$ keine unberührbare Zahl. ${\displaystyle \Box }$
• Befreundete Zahlen sind niemals unberührbare Zahlen.
  Beweis:
  • Seien ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} }$ zwei befreundete Zahlen. Befreundete Zahlen haben die Eigenschaft, dass die eine Zahl ${\displaystyle n_{1}}$ gleich der echten Teilersumme der anderen Zahl ${\displaystyle n_{2}}$ ist und umgekehrt. Es gilt also ${\displaystyle \sigma ^{*}(n_{1})=n_{2}}$ und ${\displaystyle \sigma ^{*}(n_{2})=n_{1}}$. Somit existiert für jede der beiden Zahlen ${\displaystyle n_{1}}$ und ${\displaystyle n_{2}}$ eine echte Teilersumme, die gleich ${\displaystyle n_{1}}$ bzw. ${\displaystyle n_{2}}$ ist. Somit sind ${\displaystyle n_{1}}$ und ${\displaystyle n_{2}}$ keine unberührbaren Zahlen. ${\displaystyle \Box }$
• Gesellige Zahlen sind niemals unberührbare Zahlen.
  Beweis:
  • Seien ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots n_{k}\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,k\geq 3}$ gesellige Zahlen. Gesellige Zahlen haben die Eigenschaft, dass die echte Teilersumme der ${\displaystyle i}$-ten Zahl ${\displaystyle n_{i}}$ gleich ${\displaystyle n_{i+1}}$ ist (mit ${\displaystyle i=1,2,\ldots k-1}$). Es gilt also ${\displaystyle \sigma ^{*}(n_{i})=n_{i+1}}$ und ${\displaystyle \sigma ^{*}(n_{k})=n_{1}}$. Somit existiert für jede der ${\displaystyle k}$ Zahlen ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots n_{k}}$ eine echte Teilersumme, die gleich ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots n_{k}}$ ist. Somit sind ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots n_{k}}$ keine unberührbaren Zahlen. ${\displaystyle \Box }$
• Sei ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl und ${\displaystyle n=p+1}$ eine Zahl, die um 1 größer ist als eine Primzahl. Dann gilt:
  ${\displaystyle n}$ ist keine unberührbare Zahl.
  Beweis:
  • Weil ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl ist, hat ${\displaystyle p^{2}}$ nur die echten Teiler ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle p}$. Somit gilt für die echte Teilersumme ${\displaystyle \sigma ^{*}(p^{2})=1+p}$. Also kann ${\displaystyle n=p+1}$ niemals eine unberührbare Zahl sein, weil es eine Zahl ${\displaystyle k=p^{2}}$ gibt, deren echte Teilersumme gleich ${\displaystyle n}$ ist. ${\displaystyle \Box }$
• Sei ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ eine ungerade Primzahl und ${\displaystyle n=p+3}$ eine Zahl, die um 3 größer ist als eine Primzahl. Dann gilt:
  ${\displaystyle n}$ ist keine unberührbare Zahl.
  Beweis:
  • Sei ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ eine ungerade Primzahl. Dann hat ${\displaystyle 2p}$ nur die echten Teiler ${\displaystyle 1,2}$ und ${\displaystyle p}$. Somit gilt für die echte Teilersumme ${\displaystyle \sigma ^{*}(2p)=1+2+p=p+3}$. Also kann ${\displaystyle n=p+3}$ niemals eine unberührbare Zahl sein, weil es eine Zahl ${\displaystyle k=2p}$ gibt, deren echte Teilersumme gleich ${\displaystyle n}$ ist. ${\displaystyle \Box }$
• Es gibt unendlich viele unberührbare Zahlen. Ihre asymptotische Dichte beträgt mindestens ${\displaystyle d>0{,}06}$
  Beweis: von Paul Erdős^[2] und von Chen & Zhao^[3]

Ungelöste Probleme

• Es wird vermutet, dass die Zahl ${\displaystyle n=5}$ die einzige ungerade unberührbare Zahl ist.
  • Dies würde aus der starken Goldbachschen Vermutung folgen, wenn sie bewiesen wäre:
    Eine Zahl ${\displaystyle k=p\cdot q}$ (mit Primzahlen ${\displaystyle p,q\in \mathbb {P} }$, ${\displaystyle p\not =q}$) hat nur die echten Teiler ${\displaystyle 1,p}$ und ${\displaystyle q}$. Somit ist die Summe ihrer echten Teiler ${\displaystyle \sigma ^{*}(k)=1+p+q}$. Wenn jede gerade Zahl ${\displaystyle n>6}$ als Summe zweier verschiedener Primzahlen ${\displaystyle p+q}$ dargestellt werden kann (genau das ist die Aussage der starken Goldbachschen Vermutung), dann ist jede ungerade Zahl ${\displaystyle 1+p+q>7}$ keine unberührbare Zahl, weil sie die Teilersumme der Zahl ${\displaystyle k=p\cdot q}$ (mit den echten Teilern ${\displaystyle 1,p}$ und ${\displaystyle q}$) ist. Weiters ist ${\displaystyle 1=\sigma ^{*}(2)=1}$, ${\displaystyle 3=\sigma ^{*}(4)=1+2}$ und ${\displaystyle 7=\sigma ^{*}(8)=1+2+4}$. Somit kann nur ${\displaystyle n=5}$ eine ungerade unberührbare Zahl sein.^[4] ${\displaystyle \Box }$
• Es wird vermutet, dass alle unberührbaren Zahlen außer 2 und 5 zusammengesetzte Zahlen sind.
  • Dies würde unmittelbar aus der obigen Behauptung folgen, zumal diese aussagt, dass außer der Zahl 5 nur gerade Zahlen unberührbare Zahlen sein können. Gerade Zahlen, die ungleich 2 sind, sind aber immer zusammengesetzt. ${\displaystyle \Box }$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Untouchable Number. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. J. Sesiano: Two problems of number theory in Islamic times. In: Archive for History of Exact Sciences. Band 41 (3), 1991, S. 235–238 (springer.com [abgerufen am 24. November 2018]). 
2. Paul Erdős: Über die Zahlen der Form ${\displaystyle \sigma (n)-n}$ und ${\displaystyle n-\phi (n)}$. In: Elemente der Math. Band 28, 1973, S. 83–86 (emis.de [abgerufen am 24. November 2018]). 
3. Yong-Gao Chen, Qing-Qing Zhao: Nonaliquot numbers. In: Publicationes Mathematicae. Band 78 (2), Februar 2011, S. 439–442 (researchgate.net [abgerufen am 24. November 2018]). 
4. Eric W. Weisstein: Untouchable Number. In: MathWorld (englisch).