Ungleichung von Weyl

Die in diesem Artikel behandelte Ungleichung von Weyl ist eine Aussage, welche Hermann Weyl^[1] im Jahr 1912 fand. Es gibt mehrere Ungleichungen, welche nach Hermann Weyl benannt sind. Die hier beschriebene Ungleichung macht eine Aussage über das Verhalten von Eigenwerten von Summen von Matrizen. Dieser Satz war schon im 19. Jahrhundert bekannt, wurde jedoch nicht vollständig publiziert.^[2]

Weyl-Ungleichung für Matrizen

Gegeben sei eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ mit der Zerlegung ${\displaystyle A=W+Y.}$ Hierbei sind ${\displaystyle W}$ und ${\displaystyle Y}$ beliebige quadratische Matrizen. Mit ${\displaystyle \lambda _{\pm i}\left(X\right)}$ werde jeweils der ${\displaystyle i}$-te Eigenwert verstanden, wobei positive ${\displaystyle i}$ zu aufsteigender Sortierung gehören, und negative ${\displaystyle i}$ zu absteigender. Es ist demnach ${\displaystyle \lambda _{1}\left(X\right)}$ der kleinste Eigenwert von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle \lambda _{-1}\left(X\right)}$ der größte. Mit den Kurzschreibweisen ${\displaystyle \alpha _{\pm i}:=\lambda _{\pm i}\left(A\right)}$, ${\displaystyle \omega _{\pm i}:=\lambda _{\pm i}\left(W\right)}$ und ${\displaystyle \eta _{\pm i}:=\lambda _{\pm i}\left(Y\right)}$ lautet die Ungleichung:

Für jedes Paar ${\displaystyle i,j}$, welches ${\displaystyle 1\leq i+j-1\leq n}$ erfüllt, gelten die Ungleichungen

${\displaystyle \omega _{i}+\eta _{j}\leq \alpha _{i+j-1}}$

und

${\displaystyle \alpha _{-\left(i+j-1\right)}\leq \omega _{-i}+\eta _{-j}}$.

Quellen

Literatur

• Beresford Parlett: The symmetric eigenvalue problem (Classics in applied mathematics; Bd. 20). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia 1998, ISBN 0-89871-402-8 (EA Englewood Cliffs 1980)
• Bertram Huppert (Hrsg.), Hans Schneider (Hrsg.), Helmut Wielandt (Autor): Mathematische Werke, Band 2: Linear algebra and analysis. Walter de Gruyter, 1996, ISBN 978-3-11-012453-8.
• Hermann Weyl: Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung). In: Mathematische Annalen, Bd. 71 (1912), S. 441, ISSN 0025-5831

Einzelnachweise

1. Helmut Wielandt (Autor), Bertram Huppert (Hrsg.), Hans Schneider (Hrsg.): Mathematische Werke: Linear algebra and analysis, S. 166.
2. Beresford Parlett: The symmetric eigenvalue problem, Kapitel 10-3, S. 208.