Wall-Sun-Sun-Primzahl

Eine Wall-Sun-Sun-Primzahl, benannt nach D. D. Wall, Zhi-Hong Sun und Zhi-Wei Sun, ist eine Primzahl p > 5, für die die durch p teilbare Zahl

${\displaystyle F{\bigl (}p-{\bigl (}{\tfrac {p}{5}}{\bigr )}{\bigr )}}$

durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbar ist. Dabei ist F(n) die n-te Fibonacci-Zahl und ${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {a}{b}}{\bigr )}}$ das Legendre-Symbol von a und b, also ${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {p}{5}}{\bigr )}}$ ist 1, wenn 5 ein Teiler von ${\displaystyle p^{2}-1}$ ist, und ${\displaystyle -1}$ sonst. D. D. Wall stellte 1960 die Frage, ob solche Primzahlen existieren.^[1] Die Frage ist bis heute offen, insbesondere sind keine Wall-Sun-Sun-Primzahlen bekannt. Wenn eine Wall-Sun-Sun-Primzahl existiert, muss sie größer als 9,7 × 10¹⁴ sein.^[2] Es gibt die Vermutung, dass unendlich viele existieren.^[3]

Zhi-Hong Sun und Zhi-Wei Sun zeigten 1992, dass eine ungerade Primzahl p eine Wall-Sun-Sun-Primzahl ist, wenn ein bestimmtes Gegenbeispiel zur Fermatschen Vermutung existiert, nämlich nicht durch p teilbare ganze Zahlen x, y, z mit x^p + y^p = z^p.^[4] Diese Eigenschaft hatte auch Wieferich 1909 für Wieferich-Primzahlen nachgewiesen. Mit dem Beweis der Vermutung 1995 ist allerdings geklärt, dass kein Gegenbeispiel existiert, also die Voraussetzung nicht erfüllt werden kann.

Siehe auch

• Wilson-Primzahl
• Wolstenholme-Primzahl

Weblinks

• The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)
• Eric W. Weisstein: Wall-Sun-Sun prime. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. D. D. Wall: Fibonacci series modulo m. In: American Mathematical Monthly, 67, 1960, S. 525–532 (englisch)
2. François G. Dorais, Dominic W. Klyve: A Wieferich prime search up to 6.7 × 10¹⁵. In: Journal of Integer Sequences, 14, 16. Oktober 2011, Artikel 11.9.2 (englisch)
3. Jiří Klaška: Short remark on Fibonacci-Wieferich primes. In: Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis, 15, 2007, S. 21–25 (englisch)
4. Zhi-Hong Sun, Zhi-Wei Sun: Fibonacci numbers and Fermat’s last theorem. (PDF; 186 kB) In: Acta Arithmetica, 60, 1992, S. 371–388

V – D

Primzahl­mengen

formelbasiert	Carol ((2^n − 1)^2 − 2) | Doppelte Mersenne (2^2p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (2^2n + 1) | Kubisch (x^3 − y^3)/(x − y) | Kynea ((2^n + 1)^2 − 2) | Leyland (x^y + y^x) | Mersenne (2^p − 1) | Mills (A^3n) | Pierpont (2^u⋅3^v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2^n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x^4 + y^4) | Thabit (3⋅2^n − 1) | Wagstaff ((2^p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅b^n − 1) | Woodall (n⋅2^n − 1)
Primzahlfolgen	Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin
eigenschaftsbasiert	Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson
basis­abhängig	Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10^n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular
basierend auf Tupel	Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)
nach Größe	Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen)