Witt-Ring

Der Begriff des Witt-Rings ${\displaystyle W(R)}$ stammt aus der Algebra. Er soll die quadratischen Räume über einem Ring ${\displaystyle R}$, d. h. die ${\displaystyle R}$-Moduln mit symmetrischer Bilinearform, zusammenfassen. Er wurde 1937 von Ernst Witt eingeführt.^[1]

Definition für beliebige Ringe

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring.

Die Menge der quadratischen Räume, d. h. der ${\displaystyle R}$-Moduln mit symmetrischer Bilinearform, hat eine Ringstruktur mit der orthogonalen direkten Summe ${\displaystyle \oplus }$ als Addition und dem Tensorprodukt ${\displaystyle \otimes }$ als Multiplikation. Man bezeichnet zwei quadratische Räume ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ als stabil äquivalent, wenn es ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$ gibt, so dass ${\displaystyle S_{1}\oplus T_{1}}$ isomorph zu ${\displaystyle S_{2}\oplus T_{2}}$ ist.

Stabile Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet mit den durch ${\displaystyle \oplus }$ und ${\displaystyle \otimes }$ induzierten Verknüpfungen einen Ring, der als Witt-Ring ${\displaystyle W(R)}$ bezeichnet wird.

Äquivalente Definition für Körper

Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$. Als hyperbolische Ebene ${\displaystyle H}$ bezeichnet man den ${\displaystyle K^{2}}$ mit der symmetrischen Bilinearform ${\displaystyle b(x,y)=2xy}$, als metabolische quadratische Form eine orthogonale direkte Summe hyperbolischer Ebenen.

Für solche Körper kann der Witt-Ring ${\displaystyle W(K)}$ äquivalent definiert werden als Menge der Äquivalenzklassen für die Äquivalenzrelation: ${\displaystyle S_{1}}$ und ${\displaystyle S_{2}}$ sind äquivalent, wenn es eine metabolische quadratische Form ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle S_{2}=S_{1}\oplus M}$ oder ${\displaystyle S_{1}=S_{2}\oplus M}$ gibt.

Beispiele

• Für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle K}$ ist ${\displaystyle W(K)\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.
• Für den Körper der reellen Zahlen ist ${\displaystyle W(\mathbb {R} )\simeq \mathbb {Z} }$.
• Für den Ring der ganzen Zahlen ist ${\displaystyle W(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }$.
• Für den Körper der rationalen Zahlen ist ${\displaystyle W(\mathbb {Q} )=W(\mathbb {R} )\bigoplus \oplus _{p}W(F_{p})}$ (schwache Form des Satzes von Hasse-Minkowski).
• Für einen endlichen Körper ${\displaystyle F_{q}}$ mit ${\displaystyle q\equiv 3\mod 4}$ ist ${\displaystyle W(F_{q})\simeq \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$.^[2]
• Für einen endlichen Körper ${\displaystyle F_{q}}$ mit ${\displaystyle q\equiv 1\mod 4}$ ist ${\displaystyle W(F_{q})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \left[F^{*}/F^{*2}\right]}$.
• Für einen lokalen Körper ${\displaystyle K}$ mit Maximalideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ der Norm ${\displaystyle N({\mathfrak {m}})\equiv 1\mod 4}$ ist ${\displaystyle W(K)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \left[\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right]}$.
• Für einen lokalen Körper ${\displaystyle K}$ mit Maximalideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ der Norm ${\displaystyle N({\mathfrak {m}})\equiv 3\mod 4}$ ist ${\displaystyle W(K)=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \left[\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right]}$.
• Für jeden Körper ${\displaystyle K}$ wird der Torsionsanteil von ${\displaystyle W(K)}$ von Pfister-Formen erzeugt. Die Ordnung jedes Torsionselements ist eine Zweierpotenz.

Literatur

• John Milnor, Dale Husemöller: Symmetric bilinear forms. Springer, 1973.

Einzelnachweise

1. Witt, Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern, J. Reine Angew. Math., Band 176, 1937, S. 31–44
2. Winfried Scharlau (1985): Quadratic and Hermitian Forms, p.40, und Martin Kneser (2002): Quadratische Formen, S. 53.