Wittvektor

Wittvektoren sind eine von dem Mathematiker Ernst Witt eingeführte^[1] Verallgemeinerung der Konstruktion der (ganzen) p-adischen Zahlen auf beliebige perfekte Restklassenkörper. Neben diesen ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren gibt es die großen Wittvektoren, aus denen sich die ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren für beliebiges ${\displaystyle p}$ rekonstruieren lassen.

p-typische Wittvektoren

Sei ${\displaystyle p}$ eine feste Primzahl. Für einen Ring ${\displaystyle A}$ (kommutativ, mit Einselement) bilden die Wittvektoren einen von ${\displaystyle p}$ abhängenden Ring ${\displaystyle W_{p}(A)}$. Er ist vor allem für Ringe ${\displaystyle A}$ der Charakteristik ${\displaystyle p}$ interessant, die Konstruktion macht es aber erforderlich, auch andere Ringe zuzulassen.

Motivation

Sei ${\displaystyle n>1}$ eine ganze Zahl. Als Approximation an eine alternative Konstruktion der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ soll zunächst nur unter Verwendung der Addition und Multiplikation im Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ein zum Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ isomorpher Ring, bezeichnet mit ${\displaystyle W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})}$, konstruiert werden.

Der erste, naive Ansatz dazu wäre die Verwendung der Abbildung ${\displaystyle \sigma :\mathbb {F} _{p}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$, die für ganze Zahlen ${\displaystyle 0\leq k<p}$ die Restklasse von ${\displaystyle k}$ in ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ auf die Restklasse von ${\displaystyle k}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ abbildet. Die Bijektion

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{n}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,\ \ (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto \sigma (x_{0})+p\sigma (x_{1})+\dots +p^{n-1}\sigma (x_{n-1})}$

entspricht der Darstellung von ganzen Zahlen in ${\displaystyle \{0,1,\dots ,p^{n}-1\}}$ im Stellenwertsystem zur Basis ${\displaystyle p}$. Die von ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ übertragene Addition ist dann im Fall ${\displaystyle n=2}$:

${\displaystyle (x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+c(x_{0},y_{0})),}$

wobei ${\displaystyle c(x_{0},y_{0})}$ der Übertrag ist. Diese Konstruktion lässt sich nicht gut auf andere Körper als ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ verallgemeinern, auch weil die Definition von ${\displaystyle \sigma }$ von dem aus algebraischer Sicht ungünstigen Vertretersystem ${\displaystyle \{0,1,\dots ,p-1\}\subset \mathbb {Z} }$ Gebrauch macht.

Der korrekte Ansatz basiert auf der folgenden Aussage aus der elementaren Zahlentheorie: Für ganze Zahlen ${\displaystyle u,v}$ gilt:

${\displaystyle u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^{n}}$

(siehe Kongruenz (Zahlentheorie)). Das bedeutet: Ist ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle u\in \mathbb {Z} }$ ein Vertreter von ${\displaystyle x}$, dann hängt die Restklasse von ${\displaystyle u^{p^{n-1}}}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ nur von ${\displaystyle x}$, nicht jedoch von der Wahl von ${\displaystyle u}$ ab. Wir schreiben suggestiv ${\displaystyle x^{p^{n-1}}}$ für dieses Element von ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$. (Diese Abbildung ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ist im Wesentlichen das Teichmüller-Vertretersystem für die ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.) Allgemeiner hängt auch die Restklasse von ${\displaystyle p^{k}u^{p^{n-1-k}}}$ nicht von ${\displaystyle u}$ selbst ab, wir scheiben ${\displaystyle p^{k}x^{p^{n-1-k}}}$.

Weil jeweils ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\to p^{k}\mathbb {Z} /p^{k+1}\mathbb {Z} }$, ${\displaystyle x\mapsto p^{k}x^{p^{n-1-k}}}$ bijektiv ist, erhalten wir durch Aufaddieren eine bijektive Abbildung:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{n-1}{:}\ &\mathbb {F} _{p}^{n}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,\\&(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto x_{0}^{p^{n-1}}+px_{1}^{p^{n-2}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-1-k}}+\dots +p^{n-1}x_{n-1}\end{aligned}}}$

Sei ${\displaystyle W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})}$ die Menge ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{n}}$ zusammen mit derjenigen Addition und Multiplikation, die ${\displaystyle w_{n-1}}$ zu einem Isomorphismus machen.

Sei nun speziell ${\displaystyle n=2}$ und damit ${\displaystyle w_{1}(x_{0},x_{1})=x_{0}^{p}+px_{1}}$. Sollen zwei Vektoren ${\displaystyle (x_{0},x_{1})}$ und ${\displaystyle (y_{0},y_{1})}$ addiert werden, also ${\displaystyle (x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(z_{0},z_{1})}$, dann erhält man modulo ${\displaystyle p}$ die Gleichung ${\displaystyle z_{0}^{p}=x_{0}^{p}+y_{0}^{p}}$, also ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+y_{0}}$. Damit ist

${\displaystyle pz_{1}=px_{1}+py_{1}+x_{0}^{p}+y_{0}^{p}-(x_{0}+y_{0})^{p}}$

Das Polynom

${\displaystyle X^{p}+Y^{p}-(X+Y)^{p}\in \mathbb {Z} [X,Y]}$

hat durch ${\displaystyle p}$ teilbare Koeffizienten, ist also gleich ${\displaystyle p\cdot S_{1}'(X,Y)}$ mit einem Polynom ${\displaystyle S_{1}'(X,Y)\in \mathbb {Z} [X,Y]}$. Damit ist

${\displaystyle pz_{1}=p(x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))}$

also insgesamt

${\displaystyle (x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))}$

Die Assoziativität der Addition übersetzt sich in eine Gleichung

${\displaystyle S_{1}'(x_{0},y_{0})+S_{1}'(x_{0}+y_{0},z_{0})=S_{1}'(x_{0},y_{0}+z_{0})+S_{1}'(y_{0},z_{0})}$

Man überzeugt sich leicht davon, dass diese Gleichung bereits entsprechend in ${\displaystyle \mathbb {Z} [X,Y,Z]}$ gilt. Das bedeutet, dass man für einen beliebigen kommutativen Ring ${\displaystyle A}$ durch die Festlegung

${\displaystyle (x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))}$

die Struktur einer abelschen Gruppe auf ${\displaystyle W_{p,2}(A)=A^{2}}$ definieren kann. Entsprechendes gilt für

${\displaystyle (x_{0},x_{1})\cdot (y_{0},y_{1})=(x_{0}y_{0},P_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}))}$

mit ${\displaystyle P_{1}(X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1})=X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1}}$, so dass ${\displaystyle W_{p,2}(A)}$ zu einem kommutativen Ring mit Einselement ${\displaystyle (1,0)}$ wird.

Definition

Bezeichne ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Weiterhin ist ${\displaystyle p}$ eine fest gewählte Primzahl.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome ${\displaystyle S_{i},P_{i}\in \mathbb {Z} [X_{0},\dots ,X_{i},Y_{0},\dots ,Y_{i}]}$ für jedes ${\displaystyle i\in \mathbb {N} _{0}}$ derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement ${\displaystyle A}$ gilt: ${\displaystyle W_{p}(A)=A^{\mathbb {N} _{0}}}$ ist ein Ring mit Addition:

${\displaystyle x+y=(S_{0}(x_{0},y_{0}),S_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}),S_{2}(x_{0},x_{1},x_{2},y_{0},y_{1},y_{2}),\dots )}$

und Multiplikation

${\displaystyle x\cdot y=(P_{0}(x_{0},y_{0}),P_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}),\dots )}$

und für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ist die Abbildung

${\displaystyle W_{p}(A)\to A,\ \ x\mapsto x_{0}^{p^{n}}+px_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-k}}+\dots +p^{n}x_{n}}$

ein Ringhomomorphismus. ${\displaystyle W_{p}(A)}$ heißt Ring der ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren mit Einträgen aus ${\displaystyle A}$. Ist nur die Rede von ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren, wird nur ${\displaystyle W(A)}$ geschrieben.

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{1}}$ ist ${\displaystyle W_{p,n}(A)=A^{n}}$ mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement, der Ring der ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren der Länge ${\displaystyle n}$.^[2]

Das Ringelement

${\displaystyle x^{(n)}=x_{0}^{p^{n}}+px_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-k}}+\dots +p^{n}x_{n}\in A}$

wird als ${\displaystyle n}$-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von ${\displaystyle x\in W_{p}(A)}$ bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

${\displaystyle w_{p,n}(X)=X_{0}^{p^{n}}+pX_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{n}X_{n}}$

kann man ${\displaystyle S_{n}}$ und ${\displaystyle P_{n}}$ rekursiv berechnen:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(X,Y)&={\frac {1}{p^{n}}}\left(w_{p,n}(X)+w_{p,n}(Y)-\sum _{k=0}^{n-1}p^{k}S_{k}^{p^{n-k}}(X,Y)\right)\\P_{n}(X,Y)&={\frac {1}{p^{n}}}\left(w_{p,n}(X)\cdot w_{p,n}(Y)-\sum _{k=0}^{n-1}p^{k}P_{k}^{p^{n-k}}(X,Y)\right)\end{aligned}}}$

Beispiele:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}(X,Y)&=X_{0}+Y_{0}\\S_{1}(X,Y)&=X_{1}+Y_{1}-\sum _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{p}}{\binom {p}{k}}X_{0}^{k}Y_{0}^{p-k}\\P_{0}(X,Y)&=X_{0}Y_{0}\\P_{1}(X,Y)&=X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1}\end{aligned}}}$

Auch die Negation ${\displaystyle x\mapsto -x}$ im Ring ${\displaystyle W_{p}(A)}$ ist durch universelle Polynome gegeben. Für ${\displaystyle p\neq 2}$ ist:

${\displaystyle -(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(-x_{0},-x_{1},-x_{2},\dots )}$

Für ${\displaystyle p=2}$ ist dagegen ${\displaystyle -(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(I_{0}(X),I_{1}(X),I_{2}(X),\dots )}$ mit

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(X)&=-X_{0}\\I_{1}(X)&=-X_{0}^{2}-X_{1}\\I_{2}(X)&=-X_{0}^{4}-X_{0}^{2}X_{1}-X_{1}^{2}-X_{2}\end{aligned}}}$

Die Abbildung ${\displaystyle \tau \colon A\to W_{p}(A),\ a\mapsto (a,0,0,\dots )}$ ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem (nach Oswald Teichmüller).

Beweisskizze

Die rekursive Beschreibung liefert ${\displaystyle S_{n},P_{n}\in \mathbb {Q} [X,Y]}$. Um einerseits die Ganzzahligkeit, andererseits die Ringeigenschaften nachzuweisen, zeigt der klassische Beweisansatz allgemeiner:^[3]

Lemma. Ist ${\displaystyle \phi \in \mathbb {Z} [X,Y]}$ ein Polynom (z. B. ${\displaystyle \phi (X,Y)=X+Y}$), dann gibt es eindeutig bestimmte ganzzahlige Polynome ${\displaystyle \phi _{n}\in \mathbb {Z} [X_{0},\dots ,X_{n},Y_{0},\dots ,Y_{n}]}$ mit

${\displaystyle w_{p,n}(\phi _{0},\dots ,\phi _{n})=\phi (w_{p,n}(X_{0},\dots ,X_{n}),w_{p,n}(Y_{0},\dots ,Y_{n}))}$

für alle ${\displaystyle n}$. Entsprechende Versionen dieser Aussage gelten auch für ${\displaystyle X,Y,Z}$ statt ${\displaystyle X,Y}$ oder auch nur ${\displaystyle X}$.

Rationale Eindeutigkeit ist klar, der Ganzzahligkeitsbeweis beruht auf den Eigenschaften ${\displaystyle w_{p,n}(X)\equiv w_{p,n-1}(X^{p})\mod p}$ und ${\displaystyle f(X^{p})\equiv f(X)^{p}\mod p}$ sowie der oben erwähnten Implikation

${\displaystyle u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^{n}}$

Die Ringeigenschaften von ${\displaystyle W_{p}(A)}$ folgen aus der Eindeutigkeitsaussage des Lemmas: Sowohl ${\displaystyle x+(y+z)}$ als auch ${\displaystyle (x+y)+z}$ sind durch Polynome gegeben, die Lösungen der folgenden Gleichung sind:

${\displaystyle w_{p,n}(\phi _{0},\dots ,\phi _{n})=w_{p,n}(X_{0},\dots ,X_{n})+w_{p,n}(Y_{0},\dots ,Y_{n})+w_{p,n}(Z_{0},\dots ,Z_{n})}$

Also sind diese Polynome gleich.

Ein anderer Beweisansatz verwendet die Identifikation des Rings der großen Wittvektoren mit dem Ring ${\displaystyle \Lambda (A)}$, siehe unten.

Einfache Eigenschaften

• ${\displaystyle W_{p,1}(A)}$ kann mit ${\displaystyle A}$ identifiziert werden, und ${\displaystyle w_{p,0}:W_{p}(A)\to A}$ mit der Projektion ${\displaystyle x\mapsto x_{0}}$. Alle Projektionen ${\displaystyle W_{p}(A)\to W_{p,n}(A)}$ sind surjektive Ringhomomorphismen, und

${\displaystyle W_{p}(A)=\varprojlim _{n}W_{p,n}(A)}$

(siehe Projektiver Limes)

• ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} _{p}}$ und ${\displaystyle W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$
• Wenn ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle A}$ invertierbar ist, dann ist die Abbildung auf die Geisterkomponenten ${\displaystyle w_{p}:W_{p}(A)\to A^{\mathbb {N} _{0}}}$ ein Ringisomorphismus.
• Weitere Beispiele (unter beiden Isomorphismen entspricht ${\displaystyle X}$ dem Vektor ${\displaystyle (0,1)}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}&W_{p,2}(\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}-pX)\\&W_{p,2}(\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /p^{3}\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-pX,pX-p^{2})\end{aligned}}}$

W(k) für perfekte Körper k

Sei ${\displaystyle k}$ ein perfekter Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$. Dann ist ${\displaystyle W_{p}(k)}$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring gemischter Charakteristik (d. h. ${\displaystyle {\text{char}}(W_{p}(k))=0}$), dessen maximales Ideal von ${\displaystyle p}$ erzeugt wird. Diese Eigenschaft charakterisiert ${\displaystyle W_{p}(k)}$ bis auf Isomorphie.

Wittvektoren spielen eine wichtige Rolle in der Strukturtheorie vollständiger lokaler Ringe (nach I. S. Cohen):

• Satz von Teichmüller-Witt: Ist ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit Restklassenkörper ${\displaystyle k}$, dann gibt es genau einen Homomorphismus ${\displaystyle W_{p}(k)\to A}$, so dass die Verkettung mit der Projektion ${\displaystyle A\to k}$ gleich der Projektion ${\displaystyle W_{p}(k)\to k}$ ist. Es gibt genau einen multiplikativen Schnitt ${\displaystyle \tau _{A}\colon k\to A}$ der Projektion ${\displaystyle A\to k}$, genannt Teichmüller-Vertretersystem, und die Abbildung ${\displaystyle W_{p}(k)\to A}$ ist:^[4]

${\displaystyle x\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\cdot \tau _{A}(x_{n}^{1/p^{n}})}$

• ${\displaystyle A}$ ist als ${\displaystyle W_{p}(k)}$-Algebra isomorph zu einem Quotienten von ${\displaystyle W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{m}]]}$ mit ${\displaystyle m=\dim _{k}({\mathfrak {m}}/({\mathfrak {m}}^{2}+pA))}$.
• Ist ${\displaystyle p}$ kein Nullteiler in ${\displaystyle A}$, dann gibt es Elemente ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{d-1}}$ mit ${\displaystyle d=\dim(A)}$, so dass der induzierte Homomorphismus ${\displaystyle W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{d-1}]]\to A}$ injektiv ist und ${\displaystyle A}$ als ${\displaystyle W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{d-1}]]}$-Modul endlich erzeugt ist.
• Im Spezialfall ${\displaystyle d=1}$ bedeutet das genauer: Ist ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Restklassenkörper ${\displaystyle k}$, dann ist ${\displaystyle A}$ eine endliche Erweiterung von ${\displaystyle W_{p}(k)}$ vom Grad ${\displaystyle e}$, wenn ${\displaystyle e}$ die normalisierte Bewertung von ${\displaystyle p}$ ist, also ${\displaystyle pA={\mathfrak {m}}^{e}}$ gilt.

Für nicht perfekte Körper übernehmen Cohen-Ringe die Rolle von ${\displaystyle W_{p}(k)}$.

Frobenius und Verschiebung

In Charakteristik p

Sei ${\displaystyle A}$ ein Ring der Charakteristik ${\displaystyle p}$. Die Verschiebung ist die Abbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}V{:}\ &W_{p}(A)\to W_{p}(A),\\&(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\end{aligned}}}$

Sie ist ein Homomorphismus der additiven Gruppen. Durch Abschneiden erhält man induzierte Homomorphismen

${\displaystyle {\begin{aligned}&W_{p,n}(A)\to W_{p,n+1}(A),\\&(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto (0,x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\end{aligned}}}$

Der Frobeniushomomorphismus (in Anlehnung an den Frobeniushomomorphismus von Körpern der Charakteristik ${\displaystyle p}$) ist die Abbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}F{:}\ &W_{p}(A)\to W_{p}(A),\\&(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (x_{0}^{p},x_{1}^{p},x_{2}^{p},\dots )\end{aligned}}}$

Sie ist ein Ringhomomorphismus, der sich zu Ringhomomorphismen ${\displaystyle W_{p,n}(A)\to W_{p,n}(A)}$ einschränkt. Sei ${\displaystyle [p]}$ die Multiplikation mit ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle W_{p}(A)}$. Dann ist

${\displaystyle F\circ V=V\circ F=[p]}$

somit

${\displaystyle [p](x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(0,x_{0}^{p},x_{1}^{p},\dots )}$

insbesondere

${\displaystyle p\cdot 1_{W_{p}(A)}=(0,1,0,0,0,\dots )}$

Außerdem ist

${\displaystyle V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b}$

Frobenius und Verschiebung sind Spezialfälle einer allgemeineren Konstruktion, siehe Frobeniushomomorphismus#Verschiebung.

Sei ${\displaystyle K}$ der Quotientenkörper von ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {F} _{q})}$. Dann ist ${\displaystyle F}$ der (arithmetische) Frobeniusautomorphismus für die Körpererweiterung ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$.

Dieudonné-Ring

Sei ${\displaystyle k}$ ein perfekter Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$. Schreibt man ${\displaystyle W=W_{p}(k)}$ und ${\displaystyle W^{\sigma }}$ für den ${\displaystyle W}$-Modul ${\displaystyle W}$, bei dem die Modulstruktur durch ${\displaystyle F}$ gegeben ist, dann erhält man Modulhomomorphismen

${\displaystyle F\colon W\to W^{\sigma },\ \ V\colon W^{\sigma }\to W}$

in Analogie zu Frobenius und Verschiebung für algebraische Gruppen in Charakteristik ${\displaystyle p}$. Ist allgemeiner ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle W}$-Modul zusammen mit zwei Modulhomomorphismen ${\displaystyle F\colon M\to M^{\sigma }}$ und ${\displaystyle V\colon M^{\sigma }\to M}$, kann man diese Struktur zusammenfassen als Modul für den Dieudonné-Ring ${\displaystyle D_{k}}$ (nach Jean Dieudonné), den nichtkommutativen Ring, der von ${\displaystyle W_{p}(k)}$ und zwei Symbolen ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {V} }$ erzeugt wird, mit den Relationen

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {V} \cdot \mathbf {F} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {V} =p\\&\mathbf {V} \cdot F(a)=a\cdot \mathbf {V} \\&\mathbf {F} \cdot a=F(a)\cdot \mathbf {F} \end{aligned}}}$

Die klassische Dieudonné-Theorie ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen und bestimmten ${\displaystyle D_{k}}$-Moduln. Siehe auch unten.

Allgemein

Für beliebige Ringe ${\displaystyle A}$ muss die Definition des Frobeniushomomorphismus modifiziert werden: er ist durch die Gleichung ${\displaystyle w_{p,n+1}=w_{p,n}\circ F}$ charakterisiert. Insbesondere ist die 0-te Komponente ${\displaystyle F_{0}(x)=x_{0}^{p}+px_{1}}$. Der Frobeniushomomorphismus ist auch im allgemeinen Fall ein Ringhomomorphismus. Es gilt^[5]

${\displaystyle Fx\equiv x^{p}\mod pW(A)}$

Durch Abschneiden erhält man Ringhomomorphismen

${\displaystyle W_{p,n}(A)\to W_{p,n-1}(A)}$

(also nicht mehr mit Ziel ${\displaystyle W_{p,n}(A)}$ wie im Fall der Charakteristik ${\displaystyle p}$). Allgemein gilt immer noch

${\displaystyle FV=[p]}$

und

${\displaystyle V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b}$

Frobeniuslifts und Komonadenstruktur

Sei ${\displaystyle A}$ ein ${\displaystyle p}$-torsionsfreier Ring. Ein Frobeniuslift ist ein Ringhomomorphismus ${\displaystyle \sigma \colon A\to A}$ mit ${\displaystyle \sigma (a)\equiv a^{p}\mod pA}$. Für einen Frobeniuslift existiert nach Dieudonné-Cartier eine eindeutig bestimmte Fortsetzung ${\displaystyle s\colon A\to W_{p}(A)}$, für die ${\displaystyle w_{p,n}\circ s=\sigma ^{n}}$ für alle ${\displaystyle n}$ gilt. Sie erfüllt ${\displaystyle F\circ s=s\circ \sigma }$. Da ${\displaystyle W_{p}(A)}$ selbst über den Frobeniuslift ${\displaystyle F}$ verfügt, erhält man zunächst für ${\displaystyle p}$-torsionsfreie Ringe und durch universelle Formeln für beliebige Ringe eine natürliche Transformation ${\displaystyle \mu \colon W_{p}\to W_{p}\circ W_{p}}$, die durch ${\displaystyle w_{p,n}\circ \mu =F^{n}}$ charakterisiert ist. Sie wird auch Artin-Hasse-Exponentialfunktion genannt, siehe auch unten, und definiert eine Komonade ${\displaystyle (W_{p},\mu ,w_{0})}$.^[6]

Die Restriktion auf ${\displaystyle p}$-torsionsfreie Ringe lässt sich dadurch beseitigen, dass man zu ${\displaystyle p}$-Derivationen übergeht: Für einen Ring ${\displaystyle A}$ ist eine ${\displaystyle p}$-Derivation eine Abbildung ${\displaystyle \delta \colon A\to A}$, für die die Abbildung

${\displaystyle s_{2,\delta }\colon A\to W_{p,2}(A),\ a\mapsto (a,\delta (a))}$

ein Ringhomomorphismus ist. Konkret bedeutet das, dass ${\displaystyle \delta }$ die folgenden Gleichungen erfüllt:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\delta (1)=0\\&\delta (a+b)=S_{1}(a,\delta (a),b,\delta (b))=\delta (a)+\delta (b)+\sum _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{p}}{\binom {p}{k}}a^{k}b^{p-k}\\&\delta (ab)=P_{1}(a,\delta (a),b,\delta (b))=a^{p}\delta (b)+\delta (a)b^{p}+p\cdot \delta (a)\delta (b)\end{aligned}}}$

Eine ${\displaystyle p}$-Derivation ${\displaystyle \delta }$ definiert durch ${\displaystyle w_{p,1}\circ s_{2,\delta }\colon a\mapsto a^{p}+p\cdot \delta (a)}$ einen Frobeniuslift auf ${\displaystyle A}$. Ist ${\displaystyle A}$ torsionsfrei, erhält man umgekehrt aus einem Frobeniuslift ${\displaystyle \sigma }$ eine ${\displaystyle p}$-Derivation

${\displaystyle \delta \colon A\to A,\ \delta (a)={\frac {\sigma (a)-a^{p}}{p}}}$

Ein Ring zusammen mit einer ${\displaystyle p}$-Derivation wird als δ-Ring bezeichnet.^[7]

Die Situation ist insofern analog zu gewöhnlichen Derivationen ${\displaystyle d\colon A\to A}$, als diese sich dadurch charakterisieren lassen, dass ${\displaystyle A\to A[T]/T^{2},\ a\mapsto (a,d(a))}$ ein Ringhomomorphismus ist.

Die Koalgebren für die oben definierte Komonade können mit den δ-Ringen identifiziert werden. Insbesondere ist ${\displaystyle W_{p}}$ rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der δ-Ringe in die Kategorie der Ringe.^[8] Es existiert auch eine duale Beschreibung basierend auf der „Plethorie“ ${\displaystyle \Lambda _{p}}$, die ${\displaystyle W_{p}}$ als Endofunktor der Kategorie der Ringe darstellt.^[9]

Weitere Eigenschaften in Charakteristik p

Sei ${\displaystyle A}$ ein Ring mit ${\displaystyle pA=0}$.

• Wenn ${\displaystyle A}$ ein Integritätsbereich ist, dann auch ${\displaystyle W_{p}(A)}$, und es gilt ${\displaystyle {\text{char}}(W_{p}(A))=0}$.
• Die Einheiten von ${\displaystyle W_{p}(A)}$ sind genau die Elemente ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle x_{0}\in A^{*}}$.
• Wenn ${\displaystyle A}$ ein Körper ist, dann ist ${\displaystyle W_{p}(A)}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal ${\displaystyle V(W_{p}(A))}$. Außerdem ist ${\displaystyle W_{p}(A)}$ genau dann noethersch, wenn ${\displaystyle A}$ perfekt ist.^[10]
• Wenn ${\displaystyle A\to A,\ a\mapsto a^{p}}$ surjektiv ist, dann ist ${\displaystyle V(W_{p}(A))=pW_{p}(A)}$ und somit ${\displaystyle W_{p}(A)/pW_{p}(A)\cong A}$.
• Ist ${\displaystyle A}$ perfekt, d. h. ${\displaystyle a\mapsto a^{p}}$ bijektiv, dann lässt sich ein Wittvektor ${\displaystyle x=(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )}$ mit der Teichmüller-Abbildung ${\displaystyle \tau \colon A\to W_{p}(A)}$ als ${\displaystyle p}$-adisch konvergente Reihe schreiben:

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }V^{n}\tau (x_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\cdot \tau (x_{n}^{1/p^{n}})}$

• Ist ${\displaystyle A}$ ein Integritätsbereich, und sind alle Primzahlen ${\displaystyle \neq p}$ in ${\displaystyle A}$ invertierbar (z. B. wenn ${\displaystyle A}$ ein Körper ist), dann kann man die Einheitengruppen ${\displaystyle A[[T]]^{*}}$ und ${\displaystyle A((T))^{*}}$ (formale Potenzreihen bzw. Laurentreihen) sowie ${\displaystyle (A[T]/T^{n}A[T])^{*}}$ durch ${\displaystyle W_{p}(A)}$ beschreiben, siehe unten.

Weitere Anwendungen

• Artin-Schreier-Witt-Theorie: Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$, können abelsche Erweiterungen vom Exponenten ${\displaystyle p^{n}}$ von ${\displaystyle K}$ mit Hilfe der Wittvektoren ${\displaystyle W_{p,n}}$ klassifiziert werden.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein Schema über einem Körper ${\displaystyle k}$ der Charakteristik ${\displaystyle p}$, dann gibt es nicht immer ein flaches Schema ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ über ${\displaystyle W_{p}(k)}$ mit ${\displaystyle {\tilde {X}}\times _{{\text{Spec }}W_{p}(k)}{\text{Spec }}k\cong X}$. Die Existenz eines Lifts nach ${\displaystyle W_{p,2}(k)}$ spielt eine Rolle im Beweis der Degeneration der Hodge-de-Rham-Spektralsequenz von Pierre Deligne und Luc Illusie.^[11]
• Ist ${\displaystyle X/k}$ glatt, existieren Lifts lokal. Stattet man die lokalen Lifts noch mit einer PD-Struktur aus, die bewirkt, dass ein Analogon des Poincaré-Lemmas gilt, erhält man die kristalline Kohomologie. Die kristallinen Kohomologiegruppen sind ${\displaystyle W(k)}$-Moduln. Tensoriert man mit dem Quotientenkörper, erhält man eine Weil-Kohomologie, welche die l-adische Kohomologie für ${\displaystyle l\neq p}$ ergänzt.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein Schema über ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, so ist der topologische Raum ${\displaystyle X}$ mit der Garbe ${\displaystyle W_{n}{\mathcal {O}}_{X}}$ wieder ein Schema ${\displaystyle W_{n}(X)}$. Der De-Rham-Witt-Komplex ${\displaystyle W_{n}\Omega _{X}^{\cdot }}$ ist ein geeigneter Quotient von ${\displaystyle \Omega _{W_{n}{\mathcal {O}}_{X}}^{\cdot }}$. Für ${\displaystyle X}$ glatt ist die kristalline Kohomologie ${\displaystyle H^{*}(X/W_{n})}$ isomorph zur Hyperkohomologie von ${\displaystyle W_{n}\Omega _{X}^{\cdot }}$.^[12]
• Es gibt Ansätze, Wittvektoren auf die Analyse des Verschlüsselungsverfahrens NTRUEncrypt anzuwenden.^[13]

Wittvektoren als algebraische Gruppe

Sei ${\displaystyle k}$ ein perfekter Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$. Die Wittvektoren der Länge ${\displaystyle n}$ bilden eine kommutative algebraische Gruppe ${\displaystyle W_{n}}$ über ${\displaystyle k}$, die als Varietät isomorph zum affinen Raum ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ist. ${\displaystyle W_{n}}$ ist eine unipotente Gruppe: Das folgt aus der Filtrierung ${\displaystyle V^{k}W_{n}}$ mit Subquotienten ${\displaystyle \cong \mathbb {G} _{a}}$ oder der Artin-Hasse-Einbettung ${\displaystyle W_{n}(A)\to (A[T]/(T^{p^{n}+1}))^{*}}$.

In Charakteristik 0 ist jede kommutative unipotente Gruppe isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{d}}$. In positiver Charakteristik ist die Theorie wesentlich komplexer: Es gibt nichttriviale Erweiterungen, und außer ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ gibt es noch die möglichen Kompositionsfaktoren ${\displaystyle {\underline {\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }}}$ und ${\displaystyle \alpha _{p}}$ (der Kern des Frobeniusmorphismus auf ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$, explizit ${\displaystyle \alpha _{p}(A)=\{a\in A:a^{p}=0\}}$).

Jede kommutative unipotente Gruppe über ${\displaystyle k}$ ist isogen zu einem Produkt von Wittvektorgruppen.^[14] Der Hauptsatz der klassischen Dieudonné-Theorie besagt: Der Funktor

${\displaystyle M(G)=\varinjlim _{n}{\text{Hom}}(G,W_{n})}$

definiert eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen über ${\displaystyle k}$ und der Kategorie der endlich erzeugten ${\displaystyle D_{k}}$-Moduln, auf denen ${\displaystyle V}$ nilpotent wirkt.^[15] Mit Hilfe der Cartier-Dualität oder mit Witt-Kovektoren kann man eine analoge Äquivalenz für endliche ${\displaystyle p}$-Gruppen sowie für p-divisible Gruppen konstruieren.^[16]

Für eine abelsche Varietät ${\displaystyle X/k}$ gibt es einen kanonischen Isomorphismus von ${\displaystyle D_{k}}$-Moduln ${\displaystyle M({}_{p}X)\cong H_{\text{DR}}^{1}(X)}$. Dabei ist ${\displaystyle {}_{p}X}$ der Kern der Multiplikation mit ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle H_{\text{DR}}^{1}(X)}$ die algebraische De-Rham-Kohomologie von ${\displaystyle X}$.^[17] Der Dieudonné-Modul der ${\displaystyle p}$-divisiblen Gruppe von ${\displaystyle X}$ ist isomorph zur kristallinen Kohomologie ${\displaystyle H_{\text{cris}}^{1}(X/W)}$.^[18]

Witt-Kovektoren

Wie Wittvektoren eine Verallgemeinerung der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} _{p}=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ sind, so sind Witt-Kovektoren eine Verallgemeinerung der Prüfergruppe ${\displaystyle CW(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}=\varinjlim _{n}{\tfrac {1}{p^{n}}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$. Der Funktor ${\displaystyle M(G)={\text{Hom}}(G,CW)}$ erlaubt eine einheitliche Darstellung der Dieudonné-Theorie für endliche kommutative ${\displaystyle p}$-Gruppen und ${\displaystyle p}$-divisible Gruppen über einem perfekten Körper.^[19]

Für einen Ring ${\displaystyle A}$ sei ${\displaystyle CW^{u}(A)}$ der direkte Limes von

${\displaystyle W_{p,1}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}W_{p,2}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}W_{p,3}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}\dots }$

Damit wird ${\displaystyle CW^{u}}$ zu einem Ind-Gruppenschema. In älterer Literatur wird auch das Symbol ${\displaystyle \mathop {W} _{\to }}$ verwendet. ${\displaystyle CW^{u}(A)}$ heißt Gruppe der unipotenten Witt-Kovektoren.^[20]

Die Konstruktion der topologischen Gruppe ${\displaystyle CW(A)}$ aller Witt-Kovektoren ist komplizierter: Elemente in ${\displaystyle CW^{u}(A)}$ können mit Folgen ${\displaystyle (x_{0},x_{-1},x_{-2},\dots )}$ identifiziert werden, die ab einem Index null sind. Mit denselben universellen Formeln kann man für Folgen, die ab einem festen Index ${\displaystyle r}$ Werte in einem festen nilpotenten Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ haben, eine Addition erklären. Statte diese Gruppen ${\displaystyle CW(A,{\mathfrak {n}},r)}$ mit der Produkttopologie von ${\displaystyle A^{r}\times {\mathfrak {n}}^{\mathbb {N} }}$ mit diskreten Faktoren aus und setze ${\displaystyle CW(A)=\varinjlim _{{\mathfrak {n}},r}CW(A,{\mathfrak {n}},r)}$. Die unipotenten Kovektoren ${\displaystyle CW^{u}(A)}$ bilden eine dichte Untergruppe von ${\displaystyle CW(A)}$.^[21]

Sei ${\displaystyle A}$ ein perfekter Ring der Charakteristik ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle f\colon A\to B}$ eine ${\displaystyle A}$-Algebra. Die Abbildung

${\displaystyle W_{p}(A)\times W_{p,n}(B)\to W_{p,n}(B),\ \ (a,b)\mapsto W(f)(F^{1-n}a)\cdot b}$

macht ${\displaystyle W_{p,n}(B)}$ zu einem ${\displaystyle W_{p}(A)}$-Modul (abweichend von der weiter oben definierten Modulstruktur), und mit dem Frobenius und der Verschiebung wird ${\displaystyle W_{p,n}(B)}$ zu einem ${\displaystyle D_{A}}$-Modul. Die Verschiebung ${\displaystyle W_{p,n}(B)\to W_{p,n+1}(B)}$ ist ${\displaystyle D_{A}}$-linear, und man erhält eine ${\displaystyle D_{A}}$-Modulstruktur auf ${\displaystyle CW^{u}(B)}$ und ${\displaystyle CW(B)}$.^[22]

Verzweigte Wittvektoren

Sei ${\displaystyle A}$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Uniformisierender ${\displaystyle \pi }$, dessen Restklassenkörper ein endlicher Körper mit ${\displaystyle q}$ Elementen ist. Dann gibt es genau eine funktorielle ${\displaystyle A}$-Algebra-Struktur auf ${\displaystyle W_{\pi }^{A}(B)=B^{\mathbb {N} _{0}}}$ für ${\displaystyle A}$-Algebren ${\displaystyle B}$, so dass

${\displaystyle w_{\pi ,n}:W_{\pi }^{A}(B)\to B,\ \ (x_{0},x_{1},\dots )\mapsto \sum _{k=0}^{n}\pi ^{k}x_{k}^{q^{n-k}}}$

für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ein Homomorphismus von ${\displaystyle A}$-Algebren ist. Es gibt Frobenius- und Verschiebungsoperatoren ${\displaystyle F_{\pi },V_{\pi }}$, die durch

${\displaystyle w_{\pi ,n}\circ V_{\pi }=\pi \cdot w_{\pi ,n-1},\ \ w_{\pi ,n}\circ F_{\pi }=w_{\pi ,n+1}}$

charakterisiert sind. Für eine endliche Erweiterung ${\displaystyle \lambda /\mathbb {F} _{q}}$ des Restklassenkörpers von ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle W_{\pi }^{A}(\lambda )}$ eine unverzweigte Erweiterung von ${\displaystyle A}$ vom Grad ${\displaystyle [\lambda :\mathbb {F} _{q}]}$. Verzweigte Wittvektoren übernehmen die Rolle der gewöhnlichen Wittvektoren bei der Übertragung der Cartier-Theorie auf formale ${\displaystyle A}$-Moduln.^[23]

Große Wittvektoren

Definition

Bezeichne ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ die Menge der positiven ganzen Zahlen.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome ${\displaystyle S_{i},P_{i}\in \mathbb {Z} [X_{1},\dots ,X_{i},Y_{1},\dots ,Y_{i}]}$ derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement ${\displaystyle A}$ gilt: ${\displaystyle W(A)=A^{\mathbb {N} _{1}}}$ ist ein Ring mit Addition

${\displaystyle x+y=(S_{1}(x_{1},y_{1}),S_{2}(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}),S_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}),\dots )}$

und Multiplikation

${\displaystyle x\cdot y=(P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}),\dots )}$

und für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{1}}$ ist die Abbildung

${\displaystyle W(A)\to A,\ \ x\mapsto \sum _{d|n}dx_{d}^{n/d}}$

ein Ringhomomorphismus. Auch das additiv Inverse ${\displaystyle -x}$ ist durch universelle Polynome gegeben. ${\displaystyle W(A)}$ heißt der Ring der großen oder universellen Wittvektoren mit Einträgen aus ${\displaystyle A}$.

Ist ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {N} _{1}}$ eine Teilmenge, so dass für ${\displaystyle n\in S}$ auch jeder Teiler von ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle S}$ liegt, dann ist ${\displaystyle W_{S}(A)=A^{S}}$ mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation von ${\displaystyle W(A)}$ ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement. Für ${\displaystyle S=\{1,\dots ,n\}}$ erhält man den Ring ${\displaystyle W_{[n]}(A)}$ der großen Wittvektoren der Länge ${\displaystyle n}$, für ${\displaystyle S=\{1,p,p^{2},\dots \}}$ mit einer Primzahl ${\displaystyle p}$ erhält man bis auf Umindizierung den Ring der ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren, siehe unten.

Das Ringelement

${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{d|n}dx_{d}^{n/d}}$

wird als ${\displaystyle n}$-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von ${\displaystyle x\in W(A)}$ bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

${\displaystyle w_{n}(X)=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}}$

kann man ${\displaystyle S_{n}}$ und ${\displaystyle P_{n}}$ rekursiv berechnen:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(X,Y)&={\frac {1}{n}}\left(w_{n}(X)+w_{n}(Y)-\sum _{d|n,\ d<n}dS_{d}^{n/d}(X,Y)\right)\\P_{n}(X,Y)&={\frac {1}{n}}\left(w_{n}(X)\cdot w_{n}(Y)-\sum _{d|n,\ d<n}dP_{d}^{n/d}(X,Y)\right)\end{aligned}}}$

Die Abbildung ${\displaystyle \tau \colon A\to W(A),\ a\mapsto (a,0,0,\dots )}$ ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem.

${\displaystyle W}$ ist als mengenwertiger Funktor darstellbar durch einen Polynomring in abzählbar unendlich vielen Unbestimmten. In der Praxis verwendet man konkret den Ring der symmetrischen Polynome, und Strukturen von ${\displaystyle W}$ zu übertragen.^[24]

Alternative Definition mit Potenzreihen

Sei ${\displaystyle \Lambda (A)=1+T\cdot A[[T]]\subseteq A[[T]]^{*}}$ die multiplikative Gruppe der formalen Potenzreihen mit konstantem Term 1. Die Abbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(A)\to \Lambda (A)\\&x\mapsto \prod _{n\geq 1}(1-x_{n}(-T)^{n})\end{aligned}}}$

ist ein Isomorphismus von Gruppen ${\displaystyle (W(A),{+})\cong (\Lambda (A),{\cdot })}$.^[25] Für ${\displaystyle x\in W(A)}$ hat

${\displaystyle -T\cdot {\frac {\partial }{\partial T}}\log \prod _{n\geq 1}(1-x_{n}(-T)^{n})=\sum _{n\geq 1}x^{(n)}(-T)^{n}}$

als Koeffizienten die Geisterkomponenten von ${\displaystyle x}$.

Unter dem Isomorphismus wird das Produkt zweier Wittvektoren ${\displaystyle x,y\in W(A)}$ abgebildet auf:

${\displaystyle \prod _{d,e\geq 1}(1-x_{d}^{m/d}y_{e}^{m/e}(-T)^{m})^{de/m}}$

wobei jeweils ${\displaystyle m={\text{kgV}}(d,e)}$. Schreibe ${\displaystyle *}$ für die der Multiplikation in ${\displaystyle W(A)}$ entsprechende Verknüpfung auf ${\displaystyle \Lambda (A)}$, so dass ${\displaystyle (W(A),{+},{\cdot },0,1)\cong (\Lambda (A),{\cdot },{*},1,1+T)}$ ein Isomorphismus von Ringen ist. Als Spezialfall der Multiplikationsformel ergibt sich^[26]

${\displaystyle (1+x_{1}T)*(1+y_{1}T)=1+x_{1}y_{1}T}$

Frobenius und Verschiebung

Zu jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{1}}$ gibt es Operatoren ${\displaystyle F_{n}}$ und ${\displaystyle V_{n}}$. Ihre Wirkung auf den Geisterkomponenten ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}&w_{m}(V_{n}(x))={\begin{cases}n\cdot w_{m/n}(x)&{\text{falls }}n|m\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}\\&w_{m}(F_{n}(x))=w_{mn}(x)\end{aligned}}}$

In ${\displaystyle \Lambda (A)}$ ist

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{n}(f(T))=f((-1)^{n+1}T^{n})\\&F_{n}(f)((-1)^{n+1}T^{n})=\prod _{k=1}^{n}f(\zeta ^{k}T)=N_{A[[T]]/A[[T^{n}]]}(f(T))\end{aligned}}}$

Dabei ist ${\displaystyle \zeta }$ eine formale primitive ${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel und ${\displaystyle N}$ die Norm.^[27] Insbesondere gilt

${\displaystyle F_{n}(1+aT)=1+a^{n}T}$

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ sei ${\displaystyle [n]}$ die Multiplikation mit ${\displaystyle n}$ auf ${\displaystyle W(A)}$, also

${\displaystyle {\begin{aligned}&w_{m}([n](x))=n\cdot w_{m}(x)\\{}&[n](f(T))=f(T)^{n}\end{aligned}}}$

Ist ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle R}$-Algebra (insbesondere ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$), dann gibt es für jedes ${\displaystyle r\in R}$ einen Operator ${\displaystyle \langle r\rangle \colon W(A)\to W(A)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&w_{m}(\langle r\rangle (x))=r^{m}\cdot w_{m}(x)\\&\langle r\rangle (f(T))=f(rT)\end{aligned}}}$

Es gilt für ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} _{1}}$, ${\displaystyle r,q\in R}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{m}V_{n}&=V_{mn}\\F_{m}F_{n}&=F_{mn}\\V_{m}F_{n}&=F_{n}V_{m}{\text{ falls ggT}}(m,n)=1\\F_{n}V_{n}&=[n]\\\langle r\rangle \langle s\rangle &=\langle rs\rangle \\\langle r\rangle V_{n}&=V_{n}\langle r^{n}\rangle \\F_{n}\langle r\rangle &=\langle r^{n}\rangle F_{n}\\\langle r\rangle +\langle q\rangle &=\sum _{n=1}^{\infty }V_{n}\langle s_{n}(r,q)\rangle F_{n}\end{aligned}}}$

In der letzten Formel steht ${\displaystyle s_{n}(r,q)}$ für die ${\displaystyle n}$-te Komponente von ${\displaystyle \tau (r)+\tau (q)\in W(R)}$.

Beziehung zu den p-typischen Wittvektoren, Artin-Hasse-Exponentialfunktion

Sei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl. Die Abbildung ${\displaystyle W(A)\to W_{p}(A)}$, ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{1}}\mapsto (x_{p^{n}})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$, ist ein surjektiver Ringhomomorphismus. Die ${\displaystyle p}$-typischen Wittpolynome ${\displaystyle w_{p,n}}$ sind unter dieser Umindizierung gleich den großen Wittpolynomen ${\displaystyle w_{p^{n}}}$, dasselbe gilt damit auch für die Geisterkomponenten.

Die Teilmenge ${\displaystyle \{x\in W(A):x_{k}\neq 0\Rightarrow k=p^{n}\}}$ ist kein Unterring von ${\displaystyle W(A)}$. In bestimmten Fällen kann man jedoch ${\displaystyle W_{p}(A)}$ in ${\displaystyle W(A)}$ einbetten.

Die Artin-Hasse-Exponentialfunktion

${\displaystyle E_{0}(X)=\exp \left(\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {X^{p^{m}}}{p^{m}}}\right)=\prod _{p\nmid m}(1-X^{m})^{-\mu (m)/m}}$

kann als Element von ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}[[X]]}$ aufgefasst werden (d. h. die Koeffizienten haben nicht durch ${\displaystyle p}$ teilbare Nenner, siehe Lokalisierung; ${\displaystyle \mu }$ ist die Möbius-Funktion).

Ist ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$-Algebra, d. h. sind alle Primzahlen ${\displaystyle \neq p}$ in ${\displaystyle A}$ invertierbar, dann ist für einen Wittvektor ${\displaystyle x\in W_{p}(A)}$ das Element

${\displaystyle E(x)=\prod _{n=0}^{\infty }E_{0}(x_{n}T^{p^{n}})=\exp \left(\sum _{n}w_{p,n}(x){\frac {T^{p^{n}}}{p^{n}}}\right)\in \Lambda (A)}$

wohldefiniert. ${\displaystyle e=E(1)=E_{0}(T)}$ ist ein Idempotent in ${\displaystyle \Lambda (A)}$, und ${\displaystyle E:W_{p}(A)\to \Lambda (A)\cong W(A)}$ induziert einen Ringisomorphismus ${\displaystyle W_{p}(A)\to e*\Lambda (A)}$. Bezeichne die ${\displaystyle e*\Lambda (A)}$ entsprechende Untergruppe von ${\displaystyle W(A)}$ mit ${\displaystyle W_{(p)}(A)}$. Dann gilt:

${\displaystyle W_{(p)}(A)=\{x\in W(A):p\nmid n\implies F_{n}x=0\}}$

Der Ring ${\displaystyle W(A)}$ zerfällt als direktes Produkt der ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}V_{m}W_{(p)}(A)}$ für ${\displaystyle p\nmid m}$.^[28] Für beliebige Ringe ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle W(A)\cong W^{p}(W_{p}(A))}$, wenn ${\displaystyle W^{p}(R)}$ den Quotienten von ${\displaystyle W(A)}$ bezeichnet, den man durch Projektion auf die Komponenten mit nicht durch ${\displaystyle p}$ teilbarem Index erhält.^[29]

Frobenius ${\displaystyle F_{p}}$ und Verschiebung ${\displaystyle V_{p}}$ schränken sich zu Operatoren auf ${\displaystyle W_{(p)}}$ ein und stimmen dort mit den auf ${\displaystyle W_{p}}$ erklärten Operatoren ${\displaystyle F}$ bzw. ${\displaystyle V}$ überein.

Für einen Körper ${\displaystyle k}$ der Charakteristik ${\displaystyle p}$ ist ${\displaystyle \Lambda (k)}$ die Einseinheitengruppe von ${\displaystyle k((T))}$, und so erhält man den Isomorphismus

${\displaystyle k((T))^{*}\cong k^{*}\times \mathbb {Z} \times W_{p}(k)^{I(p)}}$ mit ${\displaystyle I(p)=\{n\in \mathbb {N} :p\nmid n\}}$

Für jede ${\displaystyle k}$-Algebra ${\displaystyle A}$ ist

${\displaystyle W_{[n]}(A)\cong \Lambda _{[n]}(A)=\{1+a_{1}T+\dots +a_{n}T^{n}\in (A[T]/T^{n+1}A[T])^{*}\}}$

Das Abschneiden bei ${\displaystyle n}$ reduziert den Faktor ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}V_{m}W_{(p)}(A)}$ auf ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}V_{m}W_{p,r_{m}}(A)}$, wobei ${\displaystyle r_{m}}$ die kleinste ganze Zahl mit ${\displaystyle m\cdot p^{r_{m}}\geq n+1}$ ist. Man erhält also einen Isomorphismus von algebraischen Gruppen (über ${\displaystyle k}$)^[30]

${\displaystyle \Lambda _{[n]}\cong \prod _{m\leq n,\ p\nmid m}W_{p,r_{m}}}$

Die Artin-Hasse-Exponentialabbildung hängt auch mit der Komonadenstruktur ${\displaystyle \mu \colon W_{p}\to W_{p}\circ W_{p}}$ zusammen: Für einen perfekten Körper ${\displaystyle k}$ der Charakteristik ${\displaystyle p}$ ist die Verkettung von

${\displaystyle W_{p}(k)\to \Lambda (W_{p}(k)),\ \ x\mapsto \prod _{i=0}^{\infty }E_{0}(\tau (x_{i}^{p^{-i}})\cdot T)^{p^{i}}}$

mit der Projektion ${\displaystyle \Lambda (W_{p}(k))\cong W(W_{p}(k))\to W_{p}(W_{p}(k))}$ gleich ${\displaystyle \mu }$.^[31]

λ-Ringe

Es gibt einen kanonischen Ringhomomorphismus ${\displaystyle \mu _{A}\colon W(A)\to W(W(A))}$, der ${\displaystyle w_{n}\circ \mu =F_{n}}$ erfüllt. Wenn ${\displaystyle A}$ als abelsche Gruppe torsionsfrei ist, ist ${\displaystyle \mu }$ durch diese Bedingung eindeutig bestimmt, und für andere Ringe ist ${\displaystyle \mu }$ dadurch charakterisiert, dass für eine Surjektion ${\displaystyle f\colon A'\to A}$ mit einem torsionsfreien Ring ${\displaystyle A'}$ die Gleichung ${\displaystyle \mu _{A}\circ W(f)=W(W(f))\circ \mu _{A'}}$ gilt. Zusammen mit ${\displaystyle w_{1}\colon W(A)\to A}$ wird ${\displaystyle W}$ zu einer Komonade.^[32] Überträgt man die Koalgebren zu dieser Komonade auf ${\displaystyle \Lambda (A)}$, erhält man die so genannten λ-Ringe.

Die erste Geisterkomponente ${\displaystyle w_{1}\colon W(A)\to A}$ entspricht in ${\displaystyle \Lambda (A)}$ dem ersten Koeffizienten:

${\displaystyle w_{1}\colon \Lambda (A)\to A,\ 1+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\dots \mapsto a_{1}}$

Ein Prä-λ-Ring ist ein Ring ${\displaystyle A}$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \lambda \colon A\to \Lambda (A)}$ mit ${\displaystyle w_{1}\circ \lambda ={\text{id}}_{A}}$. Diese Bedingung ist die Kompatibilität mit der Koeins der Komonade. Bezeichnet man die Koeffizienten von ${\displaystyle \lambda (a)}$ mit ${\displaystyle \lambda ^{n}(a)}$, also

${\displaystyle \lambda (a)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}(a)T^{n}}$

dann ist eine Prä-λ-Struktur äquivalent zur Angabe von Abbildungen ${\displaystyle \lambda ^{n}\colon A\to A}$ für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, die die folgenden Gleichungen erfüllen:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda ^{0}(a)=1\\&\lambda ^{1}(a)=a\\&\lambda ^{n}(a+b)=\sum _{k=0}^{n}\lambda ^{k}(a)\lambda ^{n-k}(b)\end{aligned}}}$

Ein λ-Homomorphismus ${\displaystyle (A,\lambda _{A})\to (B,\lambda _{B})}$ ist ein Ringhomomorphismus ${\displaystyle f\colon A\to B}$ mit ${\displaystyle \Lambda (f)\circ \lambda _{A}=\lambda _{B}\circ f}$, d. h. das folgende Diagramm kommutiert:

${\displaystyle {\begin{matrix}A&\rightarrow &B\\\downarrow &&\downarrow \\\Lambda (A)&\rightarrow &\Lambda (B)\end{matrix}}}$

Der Ring ${\displaystyle \Lambda (A)}$ besitzt wie oben ausgeführt für jeden Ring ${\displaystyle A}$ eine kanonische Prä-λ-Struktur. Ein λ-Ring ist ein Prä-λ-Ring, für den ${\displaystyle \lambda \colon A\to \Lambda (A)}$ ein λ-Homomorphismus ist. Das obige Diagramm ist für ${\displaystyle B=\Lambda (A)}$ gerade die Kompatibilität mit der Komultiplikation der Komonade. Übersetzt in die ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ sind das zusätzliche Bedingungen der folgenden Form:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda ^{n}(1)=0{\text{ falls }}n>1\\&\lambda ^{n}(ab)=P_{n}(\lambda ^{1}(a),\dots ,\lambda ^{n}(a),\lambda ^{1}(b),\dots ,\lambda ^{n}(b))\\&\lambda ^{m}(\lambda ^{n}(a))=Q_{n,m}(\lambda ^{1}(a),\dots ,\lambda ^{mn}(a))\end{aligned}}}$

Die (universellen) Polynome ${\displaystyle P_{n}}$ beschreiben die ${\displaystyle *}$-Multiplikation auf ${\displaystyle \Lambda (A)}$ und besitzen wie die Polynome ${\displaystyle Q_{n,m}}$ eine Beschreibung mit Hilfe von elementarsymmetrischen Polynomen.

Die Koassoziativität der Komonade ${\displaystyle \Lambda }$ besagt, dass ${\displaystyle \Lambda (A)}$ selbst ein λ-Ring ist. Der Funktor ${\displaystyle \Lambda }$ ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der λ-Ringe in die Kategorie der Ringe.

Ist ${\displaystyle (A,\lambda )}$ ein λ-Ring, dann ist der Ringhomomorphismus

${\displaystyle A{\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}\Lambda (A)\cong W(A){\stackrel {w_{n}}{\longrightarrow }}A}$

die ${\displaystyle n}$-te Adams-Operation ${\displaystyle \psi _{n}}$ auf ${\displaystyle A}$. Es gilt ${\displaystyle \psi _{n}\circ \psi _{m}=\psi _{mn}}$. Für eine Primzahl ${\displaystyle p}$ ist ${\displaystyle w_{p}=X_{1}^{p}+pX_{p}}$, also ${\displaystyle \psi _{p}(a)\equiv a^{p}\mod pA}$, d. h. ${\displaystyle \psi _{p}}$ ist ein Frobeniuslift. Ist ${\displaystyle A}$ ein beliebiger Ring, dann ist die Adams-Operation ${\displaystyle \psi _{n}}$ auf dem λ-Ring ${\displaystyle \Lambda (A)}$ der Frobenius ${\displaystyle F_{n}}$.^[33]

Cartier-Theorie

Die Cartier-Theorie (nach Pierre Cartier) ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen einer geeigneten Kategorie kommutativer formaler Gruppen über einem Ring ${\displaystyle k}$ und einer Unterkategorie der Moduln über dem Cartier-Ring ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$.^[34]

Sei ${\displaystyle {\text{Nil}}(k)}$ die Kategorie der kommutativen ${\displaystyle k}$-Algebren ohne Einselement, die nur aus nilpotenten Elementen bestehen. Für die Zwecke der Theorie werden kommutative formale Gruppen mit Funktoren ${\displaystyle {\text{Nil}}(k)\to {\text{Ab}}}$ identifiziert. Ist ${\displaystyle F\in k[[X,Y]]}$ ein formales Gruppengesetz, ordnet der entsprechende Funktor einer Algebra ${\displaystyle A}$ die Menge ${\displaystyle A}$ mit der Gruppenstruktur ${\displaystyle (a,b)\mapsto F(a,b)}$ zu. Die formale Gruppe ${\displaystyle A\mapsto (A,{+})}$ ist die formale affine Gerade ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {A} }}^{1}}$. Die Funktoren können auf natürliche Weise auf die Kategorie der Algebren fortgesetzt werden, die filtrierende projektive Limites von Algebren in ${\displaystyle {\text{Nil}}(k)}$ sind.

Die formale Gruppe der Wittvektoren ist der Funktor ${\displaystyle {\widehat {W}}}$, der einer Algebra ${\displaystyle A}$ die Untergruppe der Wittvektoren in ${\displaystyle W(A)}$ zuordnet, die nur endlich viele von 0 verschiedene Komponenten haben. Die entsprechende Untergruppe ${\displaystyle {\widehat {\Lambda }}(A)\subseteq \Lambda (A)}$ besteht aus den Elementen, die bezüglich ${\displaystyle T}$ ein Polynom sind. Der Ring ${\displaystyle {\text{End}}({\widehat {W}})^{\text{op}}}$ wird mit ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$ bezeichnet und Cartier-Ring genannt. Die Operatoren ${\displaystyle F_{n},V_{n},\langle r\rangle }$ schränken sich zu Endomorphismen von ${\displaystyle {\widehat {W}}}$ ein und definieren damit Elemente ${\displaystyle V_{n},F_{n},\langle r\rangle \in {\text{Cart}}(k)}$. Dabei werden die Bezeichnungen von ${\displaystyle F_{n}}$ und ${\displaystyle V_{n}}$ vertauscht, so dass die obigen Relationen wegen der vertauschten Multiplikationsreihenfolge wieder gelten. Die Abbildung ${\displaystyle W(k)\to {\text{Cart}}(k)}$, ${\displaystyle \textstyle a\mapsto \sum _{n\geq 1}V_{n}\langle a_{n}\rangle F_{n}}$ ist ein injektiver Ringhomomorphismus.

Sei ${\displaystyle G}$ eine formale Gruppe. Die folgenden Gruppen sind natürlich isomorph:

• ${\displaystyle G(X\ k[[X]])=\varprojlim _{n}G(X\ k[X]/X^{n}\ k[X])}$
• die Gruppe der Morphismen ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {A} }}^{1}\to G}$ (nicht Gruppenhomomorphismen, d. h. natürliche Transformationen nur als mengenwertige Funktoren). Die Gruppenstruktur wird von der Gruppenstruktur auf ${\displaystyle G}$ induziert.
• die Gruppe der Homomorphismen ${\displaystyle {\widehat {W}}\to G}$

Ihre Elemente werden Kurven in ${\displaystyle G}$ genannt, die Gruppe mit ${\displaystyle C(G)}$ bezeichnet. Aus der letzten Beschreibung ergibt sich eine kanonische ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$-Linksmodulstruktur auf ${\displaystyle C(G)}$.

Die Potenzreihengruppe ${\displaystyle \Lambda (k)}$ kann mit ${\displaystyle C({\widehat {\mathbb {G} }}_{m})}$ identifiziert werden. Die Witt-Polynome entsprechen dem Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle C({\widehat {\mathbb {G} }}_{m})\to C({\widehat {\mathbb {G} }}_{a})}$, der von der logarithmischen Ableitung auf ${\displaystyle X\ k[[X]]}$ induziert wird.

In ${\displaystyle C(G)=G(X\ k[[X]])}$ wird die Operation von ${\displaystyle V_{n}\in {\text{Cart}}(k)}$ von ${\displaystyle X\mapsto X^{n}}$ induziert, die Operation von ${\displaystyle \langle r\rangle }$ von ${\displaystyle X\mapsto rX}$. Für ${\displaystyle F_{n}}$ betrachte wieder eine formale ${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle \zeta }$ und bilde in ${\displaystyle G}$ die Summe der Kurven, die man durch ${\displaystyle X\mapsto \zeta ^{i}X^{1/n}}$ für ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n-1}$ erhält. Für ${\displaystyle G={\widehat {\mathbb {G} }}_{m}}$ ist eine Kurve durch das Bild ${\displaystyle f\in X\ k[[X]]}$ der Koordinate bestimmt. Identifiziert man ${\displaystyle 1+f}$ mit dem entsprechenden Element in ${\displaystyle \Lambda (k)}$, stimmen die Wirkungen von ${\displaystyle F_{n},V_{n},\langle r\rangle }$ mit den oben definierten überein (ohne Vertauschung von ${\displaystyle F_{n}}$ und ${\displaystyle V_{n}}$).

Sowohl ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$ als auch ${\displaystyle C(G)}$ tragen natürliche Topologien. Der Hauptsatz der Cartier-Theorie besagt, dass ${\displaystyle C}$ eine Äquivalenz zwischen einer Kategorie formaler Gruppen über ${\displaystyle k}$ und einer Kategorie topologischer ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$-Moduln induziert. Der inverse Funktor ordnet einem ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$-Modul ${\displaystyle M}$ ein geeignet konstruiertes Tensorprodukt ${\displaystyle {\widehat {W}}\otimes _{{\text{Cart}}(k)}M}$ zu.

Sei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle k}$ eine ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$-Algebra, d. h. jede Primzahl ${\displaystyle \neq p}$ ist in ${\displaystyle k}$ invertierbar. Dann ist ${\displaystyle \textstyle \epsilon _{p}=\sum _{p\nmid n}{\frac {\mu (n)}{n}}V_{n}F_{n}}$ ein Idempotent in ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$, setze ${\displaystyle {\text{Cart}}_{p}(k)=\epsilon _{p}{\text{Cart}}(k)\epsilon _{p}}$. Für einen ${\displaystyle {\text{Cart}}(k)}$-Modul ${\displaystyle M}$ ist ${\displaystyle \epsilon _{p}M\subseteq M}$ die Untergruppe der Elemente ${\displaystyle m\in M}$ mit ${\displaystyle F_{n}m=0}$ für alle ${\displaystyle p\nmid n}$. Solche Elemente heißen ${\displaystyle p}$-typisch.

Für eine formale Gruppe ${\displaystyle G}$ sei ${\displaystyle C_{p}(G)=\epsilon _{p}C(G)\cong {\text{Hom}}({\widehat {W}}_{p},G)}$ die Gruppe der ${\displaystyle p}$-typischen Kurven (dabei ${\displaystyle {\widehat {W}}_{p}}$ die formale Gruppe zu den ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren ${\displaystyle W_{p}}$, analog zu ${\displaystyle {\widehat {W}}}$). Dann induziert ${\displaystyle C_{p}}$ eine Äquivalenz zwischen der Kategorie formaler Gruppen über ${\displaystyle k}$ wie oben und einer Kategorie topologischer ${\displaystyle {\text{Cart}}_{p}(k)}$-Moduln. Der inverse Funktor ist wie vorher ein Tensorprodukt ${\displaystyle {\widehat {W}}_{p}\otimes _{{\text{Cart}}_{p}(k)}M}$.

Für einen perfekten Körper ${\displaystyle k}$ der Charakteristik ${\displaystyle p}$ kann der Dieudonné-Ring ${\displaystyle D_{k}}$ mit einem dichten Unterring in ${\displaystyle {\text{Cart}}_{p}(k)}$ identifiziert werden. Unter geeigneten Voraussetzungen ist der Dieudonné-Modul dual zum Modul der ${\displaystyle p}$-typischen Kurven, ${\displaystyle {\text{Hom}}_{W_{p}(k)}(M(G),W_{p}(k))\cong C_{p}(G)}$.

Verallgemeinerungen

• Colette Schoeller hat Teile der ${\displaystyle p}$-typischen Theorie, nämlich die Konstruktion des Cohen-Rings und der Klassifikation der unipotenten Gruppen, auf nicht perfekte Körper ausgedehnt.^[35]
• Andreas Dress und Christian Siebeneicher haben die Konstruktion eines Rings ${\displaystyle W_{G}(A)}$ aus einer proendlichen Gruppe ${\displaystyle G}$ und einem Ring ${\displaystyle A}$ angegeben, so dass ${\displaystyle W_{G}(\mathbb {Z} )}$ isomorph zum komplettierten Burnside-Ring von ${\displaystyle G}$ ist. Für ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{p}}$ ergibt sich ${\displaystyle W_{p}(A)}$, für ${\displaystyle G={\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ergibt sich ${\displaystyle W(A)}$.^[36]

Literatur

Lehrbücher und Übersichtsartikel

• George Mark Bergman: Ring Schemes: the Witt Scheme. In: David Mumford, Lectures on Curves on an Algebraic Surface. Princeton University Press, Princeton 1966, ISBN 0-691-07993-5. 
• Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-33942-6. 
• Michiel Hazewinkel: Witt Vectors. Part 1. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Handbook of Algebra. Vol. 6. Elsevier, Amsterdam 2009, ISBN 978-0-444-53257-2, S. 319–472, arxiv:0804.3888. 
• Jean-Pierre Serre: Local Fields. Springer, Berlin 1979, ISBN 3-540-90424-7. 

Weiterführende Themen

• Pierre Berthelot: Exposé V. Généralités sur les λ-anneaux. In: Pierre Berthelot, Alexandre Grothendieck, Luc Illusie (Hrsg.): Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie. 1966-67 − Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch (SGA 6) (= Lecture notes in mathematics). Band 225. Springer, Berlin 1971, ISBN 3-540-05647-5, S. 297–364. 
• James Borger: The basic geometry of Witt vectors, I: The affine case. In: Algebra and Number Theory. Band 5, Nr. 2, 2011, S. 231–285, doi:10.2140/ant.2011.5.231, arxiv:0801.1691 (maths.anu.edu.au). 
• James Borger, Ben Wieland: Plethystic Algebra. In: Advances in Mathematics. Band 194, Nr. 2, 2005, S. 246–283, arxiv:math.AC/0407227 (maths.anu.edu.au). 
• Michel Demazure: Lectures on p-Divisible Groups (= Lecture notes in mathematics. Band 302). Springer-Verlag, Berlin 1972, ISBN 3-540-06092-8. 
• Michel Demazure, Pierre Gabriel: Groupes algébriques. Tome 1. North-Holland, Amsterdam 1970, ISBN 0-7204-2034-2. 
• Michiel Hazewinkel: Formal Groups and Applications. Academic Press, New York 1978, ISBN 0-12-335150-2. 
• Luc Illusie: Complexe de De Rham-Witt et cohomologie cristalline. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 12, Nr. 4, 1979, S. 501–661 (numdam.org). 
• Jean-Pierre Serre: Algebraic Groups and Class Fields. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96648-X. 

Weblinks

• Witt vector. In: I.V. Dolgachev (originator): Encyclopedia of Mathematics.

Einzelnachweise

1. Originalarbeit: Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: J. Reine Angew. Math. Band 176, 1936, S. 126–140. 
2. James Borger hat Argumente dafür vorgebracht, die Nummerierung ${\displaystyle W_{p,n}(A)=A^{n+1}}$ für ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ zu bevorzugen, siehe Borger 2011, 2.5
3. Hazewinkel 2009, Theorem 5.2. Bourbaki verwendet stattdessen eine Charakterisierung des Bilds von ${\displaystyle w:W_{p}(A)\to A^{\mathbb {N} _{0}}}$ und erhält die universellen Polynome durch Spezialisierung auf Polynomringe ${\displaystyle A}$.
4. Demazure-Gabriel, V §4, 2.1
5. Bourbaki, IX §1 Proposition 3. Hazewinkel 2009, 5.30
6. Illusie 1979, S. 508. Bourbaki, IX §1 Ex. 14, 15
7. Alexandru Buium: Arithmetic Differential Equations. AMS, Providence 2005, ISBN 0-8218-3862-8. 
8. André Joyal: δ-anneaux et vecteurs de Witt. In: C. R. Math. Acad. Sci., Soc. R. Can. Band 7, 1985, S. 177–182. 
9. Borger-Wieland 2005
10. Bourbaki, IX §1 Ex. 9
11. Pierre Deligne, Luc Illusie: Relèvements modulo p² et décomposition du complexe de de Rham. In: Inv. Math. Band 89, 1987, S. 247–270. 
12. Illusie 1979, Kap. II. Als Vorläufer dieser Konstruktion kann die folgende Arbeit von Spencer Bloch angesehen werden, in der er einen Komplex von Kurven im Sinn der Cartier-Theorie in der K-Theorie betrachtet: Spencer Bloch: Algebraic K-Theory and Crystalline Cohomology. In: Publ. math. de l’I.H.É.S. Band 47, 1977, S. 187–268.  Eine systematische Betrachtung von Verdickungen des Typs ${\displaystyle W_{n}(X)}$ sowie einer adjungierten Konstruktion findet sich in: James Borger: The basic geometry of Witt vectors. II: Spaces. In: Mathematische Annalen. Band 351, Nr. 4, 2011, S. 877–933, doi:10.1007/s00208-010-0608-1, arxiv:1006.0092. 
13. J. H. Silverman, Nigel Smart, F. Vercauteren: An algebraic approach to NTRU via Witt vectors and overdetermined systems of nonlinear equations. In: Carlo Blundo, Stelvio Cimato (Hrsg.): Security in Communication Networks: 4th International Conference, SCN 2004, Amalfi, Italy, September 8–10, 2004, Lecture Notes in Computer Science 3352. Springer-Verlag, 2005, S. 278–293. 
14. Demazure-Gabriel, V §3 6.11. Serre 1988, VII §2 10
15. Demazure-Gabriel, V §1 4
16. Demazure 1972, III §6–8
17. Corollary 5.11 in: Tadao Oda: The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 2, Nr. 1, 1969, S. 63–135 (online). 
18. Luc Illusie: Crystalline Cohomology. In: Uwe Jannsen et al. (Hrsg.): Motives (= Proceedings of Symposia in Pure Mathematics). Band 55, Nr. 1. American Mathematical Society, Providence 1994, S. 43–70. 
19. Jean-Marc Fontaine: Groupes p-divisibles sur les corps locaux. In: Astérisque. Band 47-48, 1977.  Pierre Berthelot: Théorie de Dieudonné sur un anneau de valuation parfait. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 13, Nr. 2, 1980, S. 225–268 (online). 
20. Bourbaki, IX §1 Ex. 23
21. Bourbaki, IX §1 Ex. 24
22. Bourbaki, IX §1 Ex. 25
23. Hazewinkel 1978, 25.3 und 25.6.4. Weitere Verallgemeinerungen dort und in Borger 2011.
24. Hazewinkel 2009 Kap. 10. Borger-Wieland 2005
25. Die Vorzeichenwahl ist uneinheitlich, drei Varianten finden sich bei Bourbaki, Hazewinkel und Bergman. Mit der hier getroffenen Wahl (wie bei Bourbaki oder Berthelot 1971) wird der Zusammenhang mit λ-Ringen einfacher.
26. Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, (9.15) und (9.27)
27. Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, Kap. 13
28. Bourbaki, IX §1 Ex. 40. Demazure-Gabriel, V §5, 3.4
29. Roland Auer: A functorial property of nested Witt vectors. In: Journal of Algebra. Band 252, Nr. 2, 2002, S. 293–299. 
30. Serre 1988, V §3 Proposition 9
31. Hazewinkel 1978 17.5
32. Bourbaki, IX §1 Ex. 41. Hazewinkel 2009 16.59
33. Bourbaki, IX §1 Ex. 48. Hazewinkel 2009, 16.22
34. Übersichtsartikel zum gesamten Abschnitt: Lawrence Breen: Rapport sur la Théorie de Dieudonné. In: Astérisque. Band 63, 1979, S. 39–66.  Siehe auch: Thomas Zink: Cartiertheorie kommutativer formaler Gruppen. Teubner, 1984, ISBN 3-322-00647-6.  Michel Lazard: Commutative Formal Groups. Springer, Berlin 1975, ISBN 3-540-07145-8.  Ching-Li Chai: Notes on Cartier Theory. (math.upenn.edu [PDF]). 
35. Colette Schoeller: Groupes affines, commutatifs, unipotents sur un corps non parfait. In: Bulletin de la S. M. F. Band 100, 1972, S. 241–300 (online). ; Bourbaki, IX §2 Ex. 10
36. Andreas Dress, Christian Siebeneicher: The Burnside ring of profinite groups and the Witt vector construction. In: Adv. Math. Band 70, 1988, S. 87–132.