Zahmheits-Satz

In der Mathematik ist die Zahmheits-Vermutung eine auf Albert Marden zurückgehende Vermutung aus der Theorie der Kleinschen Gruppen in der 3-dimensionalen Topologie, die 2004 von Ian Agol, Danny Calegari und David Gabai bewiesen wurde.

Aussage

Jede vollständige, 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe ist topologisch zahm, das heißt ist homöomorph zum Inneren einer kompakten Mannigfaltigkeit.

Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten

Aus der topologischen Zahmheit folgt unmittelbar, dass sich jede orientierbare vollständige 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe zerlegen lässt in einen kompakten Kern ${\displaystyle K}$ (welcher homöomorph zu ${\displaystyle M}$ ist) und endlich viele zusammenhängende „Enden“, welche von der Form ${\displaystyle S_{i}\times (0,\infty )}$ sind. Dabei sind die Flächen ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{k}}$ homöomorph zu den Zusammenhangskomponenten von ${\displaystyle \partial K}$.

Rolle der Hyperbolizität

Die Annahme, dass ${\displaystyle M}$ hyperbolisch ist, spielt eine wesentliche Rolle im Beweis der Zahmheits-Vermutung. Es gibt Gegenbeispiele von (nicht-hyperbolischen) 3-Mannigfaltigkeiten mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe, deren Enden nicht zahm sind.

Literatur

• Ian Agol: Tameness of hyperbolic 3-manifolds. 2004, arxiv:math.GT/0405568.
• Danny Calegari, David Gabai: Shrinkwrapping and the taming of hyperbolic 3-manifolds. In: Journal of the American Mathematical Society. Bd. 19, Nr. 2, 2006, S. 385–446, JSTOR:20161283.
• Richard D. Canary: Marden's tameness conjecture: history and applications In: Lizhen Ji, Kefeng Liu, Lo Yang, Shing-Tung Yau (Hrsg.): Geometry, Analysis and Topology of Discrete groups (= Advanced Lectures in Mathematics. 6). International Press u. a., Somerville MA u. a. 2008, ISBN 978-1-57146-126-1, S. 137–162, (online (PDF; 246 KB)).
• Dana Mackenzie: Taming the hyperbolic jungle by pruning its unruly edges. In: Science. Bd. 306, Nr. 5705, 2004, S. 2182–2183, doi:10.1126/science.306.5705.2182.
• Albert Marden: The geometry of finitely generated kleinian groups. In: Annals of Mathematics. Series 2, Bd. 99, Nr. 3, 1974, S. 383–462, doi:10.2307/1971059.