Zellkomplex

Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde 1949 von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.^[1]

Definition

Eine ${\displaystyle k}$-Zelle ist ein topologischer Raum, der zu ${\displaystyle B^{k}:=[0,1]^{k}}$ homöomorph ist. Eine offene ${\displaystyle k}$-Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von ${\displaystyle B^{k}}$ homöomorph ist. ${\displaystyle k}$ nennt man die Dimension der Zelle.

Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$, der in offene Zellen ${\displaystyle (c_{i})_{i\in I}}$ zerfällt, wobei gilt:

1. zu jeder ${\displaystyle k}$-Zelle ${\displaystyle c_{i}\subseteq X}$ existiert eine stetige Abbildung ${\displaystyle f_{i}:B^{k}\rightarrow X}$ so dass das Innere von ${\displaystyle B^{k}}$ homöomorph auf ${\displaystyle c_{i}}$ und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension ${\displaystyle <k}$ abgebildet wird. (${\displaystyle f_{i}}$ heißt die charakteristische Abbildung der Zelle ${\displaystyle c_{i}}$.)
2. ${\displaystyle M\subseteq X}$ ist genau dann abgeschlossen, wenn ${\displaystyle M\cap f_{i}(B^{k})}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$ abgeschlossen ist.

Das ${\displaystyle k}$-Gerüst eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimensionen ${\displaystyle \leq k}$.

Ein endlicher CW-Komplex ist ein CW-Komplex aus endlich vielen Zellen.

Eigenschaften

Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.

In zusammenhängenden CW-Komplexen gilt der Satz von Whitehead über die Homotopieäquivalenz.

Ein CW-Komplex ist der Kolimes seiner endlichen Unterkomplexe.

Beispiele

• Jeder Simplizialkomplex ist ein CW-Komplex.
• Jede offene sternförmige Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ist ein k-Zelle.^[2]
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen ${\displaystyle c_{i}=(i,i+1)}$ und die charakteristischen Abbildungen ${\displaystyle f_{i}:[0,1]\to \mathbb {R} ,x\mapsto i+x}$.

Zelluläre Abbildungen

Das ${\displaystyle n}$-Gerüst ${\displaystyle K_{n}}$ eines CW-Komplexes ${\displaystyle K}$ ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension ${\displaystyle \leq n}$.

Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon K\to L}$, die jede ${\displaystyle n}$-Zelle von ${\displaystyle K}$ in das ${\displaystyle n}$-Gerüst von ${\displaystyle L}$ abbildet. (Dabei müssen ${\displaystyle n}$-Zellen nicht notwendig auf ${\displaystyle n}$-Zellen abgebildet werden.)

Siehe auch

• Abstrakter Zellkomplex

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press 2010, ISBN 978-0-521-79540-1, S. 5ff., S. 102ff., S. 106ff
• D.O. Baladze: CW-complex. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). Vorlage:EoM/id

Einzelnachweise

1. J. H. C. Whitehead: Combinatorial homotopy, Bull. Amer. Math. Soc., Band 55, 1949, 213–245 (Teil 1), S. 453–496 (Teil 2)
2. Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-21393-2, S. 116.