Zweidimensionale Yang-Mills-Theorie

Zweidimensionale Yang-Mills-Theorie (auch D = 2 Yang-Mills-Theorie, kurz D = 2 YM) ist in der Differentialgeometrie der Spezialfall der Yang-Mills-Theorie über einer Basismannigfaltigkeit mit zwei Dimensionen. Dieser Spezialfall erlaubt die Konstruktion des Yang-Mills-Maßes auf dem Raum aller Zusammenhänge des Hauptfaserbündels sowie ihren Orbiträumen bezüglich der Eichgruppe.^[1] Außerdem sind alle nichtflachen Yang-Mills-Zusammenhänge bereits Yang-Mills-Higgs-Zusammenhänge für ein nichttriviales Higgs-Feld, welches sich direkt aus diesen konstruieren lässt. Eine zentrale Anwendung findet die zweidimensionale Yang-Mills-Theorie in einer zweidimensionalen Formulierung der Quantenchromodynamik (auch ’t Hooft-Modell genannt), welche die starke Wechselwirkung beschreibt.^[2]

Grundlagen

Sei ${\displaystyle G}$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ und ${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$ ein ${\displaystyle G}$-Hauptfaserbündel, wobei ${\displaystyle B}$ eine orientierbare Riemannsche 2-Mannigfaltigkeit ist. Es sei ${\displaystyle A\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ ein Zusammenhang und ${\displaystyle F_{A}:=\mathrm {d} _{A}A=\mathrm {d} A+[A\wedge A]\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{2}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ dessen Krümmungsform. Da ${\displaystyle B}$ zweidimensional ist, kann ${\displaystyle \operatorname {tr} (F_{A})\in \Omega ^{2}(B)}$ (auch notiert als ${\displaystyle \langle F_{A}\rangle }$), wobei ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ die Spur (englisch trace) notiert und die Differentialform wieder reellwertig macht, über dieser integriert werden (wofür die Riemannsche Struktur notwendig ist). Gemäß der Chern-Weil-Theorie ergibt dies für ${\displaystyle G<\operatorname {U} (n)}$ (was für jedes kompakte ${\displaystyle G}$ wegen des Satzes von Peter-Weyl erfüllt ist) die erste Chern-Klasse des Hauptfaserbündels (definiert als die des assoziierten Vektorbündels ${\displaystyle E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}}$):^[3]

${\displaystyle \langle c_{1}(E),[B]\rangle =\langle c_{1}(E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}),[B]\rangle =-{\frac {i}{2\pi }}\int _{B}\operatorname {tr} (F_{A})\in \mathbb {Z} .}$

Die Kronecker-Paarung der ersten Chern-Klasse ${\displaystyle c_{1}(E)\in H^{2}(B;\mathbb {Z} )}$ mit der durch die (ebenso im Integral eingehende) Orientierung gegebenen Fundamentalklasse ${\displaystyle [B]\in H_{2}(B,\mathbb {Z} )}$ wird dabei zur Vereinfachung auch oft weggelassen. In diesem Fall vergleicht die Gleichung jedoch eine Kohomologieklasse mit einer ganzen Zahl.

Ist ${\displaystyle A}$ flach (${\displaystyle F_{A}=0}$), dann ist also ${\displaystyle c_{1}(E)=0}$. Daher ist die erste Chern-Klasse eine Obstruktion für die Existenz von flachen Zusammenhängen auf zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten. Yang-Mills-Zusammenhänge (${\displaystyle \mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0}$) sind dadurch nicht nur eine Verallgemeinerung von flachen Zusammenhängen, sondern ebenfalls eine Alternative für Hauptfaserbündel, auf denen diese nicht existieren.

Spezialfall

Yang-Mills-Higgs-Gleichungen

In den Yang-Mills-Gleichungen ${\displaystyle \mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0}$ wird noch zusätzlich der Hodge-Stern-Operator ${\displaystyle \star }$ auf die Krümmungsform ${\displaystyle F_{A}}$ angewendet. Da ${\displaystyle B}$ eine 2-Mannigfaltigkeit ist, ergibt dies eine 0-Form ${\displaystyle \star F_{A}\in \Omega ^{0}(B,\operatorname {Ad} (E))=\Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))}$. Daher ist der Grad nur in dieser Dimension identisch mit dem eines Higgs-Feldes ${\displaystyle \Phi }$, wodurch sich eine spezielle Eigenschaft ergibt. Ein Yang-Mills-Zusammenhang ${\displaystyle A}$, also eine Lösung der Yang-Mills-Gleichungen ${\displaystyle \mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0}$, ist sogar ein Yang-Mills-Higgs-Zusammenhang für das nicht unbedingt triviale Higgs-Feld ${\displaystyle \Phi =\star F_{A}}$, also eine Lösung der Yang-Mills-Higgs-Gleichungen:

${\displaystyle \star \mathrm {d} _{A}\star F_{A}+[\Phi ,\mathrm {d} _{A}\Phi ]=0;}$

${\displaystyle \mathrm {d} _{A}\star \mathrm {d} _{A}\Phi =0.}$

Dies folgt einfach daraus, dass die beiden Terme des Higgs-Feldes herausfallen:

${\displaystyle \mathrm {d} _{A}\Phi =\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0.}$

Yang-Mills-Maß

Zuerst definiert wurde das Yang-Mills-Maß von Bruce Driver sowie von Leonard Gross, Christopher King und Ambar Sengupta. Mit der Yang-Mills-Wirkung:

${\displaystyle \operatorname {YM} (A):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.}$

und einem Parameter ${\displaystyle T}$ ist das Yang-Mills-Maß gegeben durch:

${\displaystyle d\mu _{T}(A)={\frac {1}{Z_{T}}}e^{-\operatorname {YM} (A)/T}DA.}$

Anwendung auf die 2-Sphäre

Eine einfache 2-Mannigfaltigkeit ist die 2-Sphäre ${\displaystyle S^{2}}$. Die komplexe Hopf-Faserung ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{4}\supset S^{3}\rightarrow S^{2}\cong \mathbb {C} P^{1},(z,w)\mapsto [z:w]}$ ist etwa ein ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel über ${\displaystyle S^{2}}$. Zudem korrespondieren derartige Hauptfaserbündel mit der Quantisierung der Ladung eines magnetischen Monopols in drei Dimensionen (auch Dirac-Monopol genannt). Dies entspricht ihrer Klassifikation durch die ganzen Zahlen:^[4][5][6]

${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}(S^{2})\cong [S^{2},\operatorname {BU} (1)]=\pi _{2}\operatorname {BU} (1)\cong \pi _{1}\operatorname {U} (1)\cong \pi _{1}S^{1}\cong \mathbb {Z} }$

Dabei ist ${\displaystyle \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }}$ der klassifizierende Raum der Eichgruppe ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$. Das triviale Hauptfaserbündel entspricht ${\displaystyle 0\in \mathbb {Z} }$ und die komplexe Hopf-Faserung entspricht ${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} }$.

Siehe auch

• Vierdimensionale Yang-Mills-Theorie

Literatur

• Gerard ’t Hooft: A Two-Dimensional Model For Mesons. In: Nucl. Phys. B. Band 75, 1974, S. 461–470, doi:10.1016/0550-3213(74)90088-1 (englisch). 
• Dana S. Fine: Quantum Yang-Mills on the two-sphere. In: Communications in Mathematical Physics. Band 134, 1990, S. 273–292, doi:10.1007/BF02097703 (englisch). 
• Dana S. Fine: Quantum Yang-Mills on a Riemann surface. In: Communications in Mathematical Physics. Band 140, 1991, S. 321–338, doi:10.1007/BF02099502 (englisch). 
• Ambar Sengupta: The Yang-Mills measure for S2. In: Journal of Functional Analysis. Band 108, Nr. 2, 1992, S. 231–273, doi:10.1016/0022-1236(92)90025-E (englisch). 
• Ambar Sengupta: Quantum Gauge Theory on Compact Surfaces. In: Annals of Physics. Band 221, Nr. 1, 1993, S. 17–52, doi:10.1006/aphy.1993.1002 (englisch). 

Weblinks

• D=2 Yang-Mills theory auf nLab (englisch)

Einzelnachweise

1. Sengupta 92
2. ’t Hooft 74
3. Ralph L. Cohen: The Topology of Fiber Bundles (Lecture Notes). In: math.stanford.edu. Abgerufen am 27. Oktober 2024 (englisch, Lemma 3.50). 
4. Ralph L. Cohen: The Topology of Fiber Bundles. Lecture Notes. Stanford University, Januar 1998, abgerufen am 28. Oktober 2024 (englisch, Theorem 2.8, Theorem 2.12., Corollary 2.10, Theorem 2.13). 
5. Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, Theorem 1.7 (englisch, cornell.edu [PDF]). 
6. Stephen A. Mitchell: Notes on principal bundles and classifying spaces. Juni 2011, abgerufen am 27. Oktober 2024 (englisch, Theorem 7.4 und Corollary 11.2).