Αυτοομοιότητα

Μια καμπύλη Κοχ έχει μια απείρως επαναλαμβανόμενη αυτοομοιότητα όταν μεγεθύνεται.

Τυπική (τετριμμένη) αυτοομοιότητα.^[1]

Στα μαθηματικά, η αυτοομοιότητα ενός αντικειμένου είναι ακριβώς ή κατά προσέγγιση παρόμοιο με ένα μέρος του (δηλαδή το σύνολο έχει το ίδιο σχήμα με ένα ή περισσότερα μέρη). Πολλά αντικείμενα στον πραγματικό κόσμο, όπως οι ακτογραμμές, είναι στατιστικά αυτοομοειδή: τα μέρη τους έχουν τις ίδιες στατιστικές ιδιότητες σε πολλές κλίμακες^[2]. Η αυτοομοιότητα είναι μια τυπική ιδιότητα των φράκταλ. Η αναλλοίωτη κλίμακα είναι μια ακριβής μορφή της αυτοομοιότητας, όπου, ανεξάρτητα από τη μεγέθυνση, υπάρχει ένα μικρότερο μέρος του αντικειμένου που είναι παρόμοιο με το σύνολο. Για παράδειγμα, η μία πλευρά μιας νιφάδας χιονιού του Κοχ είναι τόσο συμμετρική όσο και αναλλοίωτη κλίμακας- μπορεί να μεγεθύνεται συνεχώς τρεις φορές χωρίς να αλλάζει το σχήμα της. Η μη τετριμμένη ομοιότητα που είναι εμφανής στα φράκταλ διακρίνεται από τη λεπτή δομή τους, ή τη λεπτομέρεια σε αυθαίρετα μικρές κλίμακες. Ως αντιπαράδειγμα, ενώ μέρος μιας ευθείας γραμμής μπορεί να μοιάζει με το σύνολο, δεν αποκαλύπτεται καμία πρόσθετη λεπτομέρεια.

Ένα εξελισσόμενο φαινόμενο με την πάροδο του χρόνου λέγεται ότι παρουσιάζει αυτοομοιότητα εάν η αριθμητική τιμή ορισμένων παρατηρήσιμων μεγεθών ${\displaystyle f(x,t)}$που μετρώνται σε διαφορετικές χρονικές στιγμές είναι διαφορετική, αλλά η άνευ διαστάσεων ποσότητα που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη τιμή του ${\displaystyle x/t^{z}}$ παραμένει αμετάβλητη. Αυτό συμβαίνει εάν η ποσότητα ${\displaystyle f(x,t)}$ κλιμακώνεται δυναμικά. Η ιδέα είναι απλώς μια επέκταση της ιδέας της ομοιότητας δύο τριγώνων^[3][4][5]. Σημειώστε ότι δύο τρίγωνα είναι παρόμοια αν οι αριθμητικές τιμές των πλευρών τους είναι διαφορετικές, αλλά οι αντίστοιχες χωρίς διαστάσεις ποσότητες, όπως οι γωνίες τους, συμπίπτουν.

Οι Πίτγκεν και άλλοι εξηγούν την έννοια ως εξής:

Αν τα μέρη ενός σχήματος είναι μικρά αντίγραφα του συνόλου, τότε το σχήμα ονομάζεται αυτοομοειδές....Ένα σχήμα είναι αυστηρά αυτοομοειδές αν το σχήμα μπορεί να αναλυθεί σε μέρη που είναι ακριβή αντίγραφα του συνόλου. Οποιοδήποτε αυθαίρετο μέρος περιέχει ένα ακριβές αντίγραφο του όλου σχήματος^[6].

Δεδομένου ότι μαθηματικά, ένα φράκταλ μπορεί να παρουσιάζει αυτοομοιότητα υπό απεριόριστη μεγέθυνση, είναι αδύνατο να δημιουργηθεί αυτό με φυσικό τρόπο. Οι Πίτγκεν και άλλοι προτείνουν τη μελέτη της αυτοομοιότητας με τη χρήση προσεγγίσεων:

Προκειμένου να δώσουμε ένα λειτουργικό νόημα στην ιδιότητα της αυτοομοιότητας, περιοριζόμαστε αναγκαστικά να ασχοληθούμε με πεπερασμένες προσεγγίσεις του οριακού σχήματος. Αυτό γίνεται με τη μέθοδο που θα ονομάσουμε αυτο-ομοιότητα κουτιού, όπου οι μετρήσεις γίνονται σε πεπερασμένα στάδια του σχήματος χρησιμοποιώντας πλέγματα διαφόρων μεγεθών.^[7]

Αυτό το λεξιλόγιο καθιερώθηκε από τον Μπενουά Μαντελμπρό το 1964^[8] .

Aυτοσυγγένεια

Ένα self-affine φράκταλ με διάσταση Χάουστορφ=1.8272

Στα μαθηματικά, η αυτοσυγγένεια είναι ένα χαρακτηριστικό ενός φράκταλ του οποίου τα κομμάτια κλιμακώνονται κατά διαφορετικά ποσά στις διευθύνσεις x και y. Αυτό σημαίνει ότι για να εκτιμηθεί η αυτοομοιότητα αυτών των κλασματικών αντικειμένων, πρέπει να αναβαθμιστούν με τη χρήση ενός ανισοτροπικού αφινικού μετασχηματισμού.

Ορισμός

Ένας συμπαγής τοπολογικός χώρος X είναι αυτοομοιόμορφος αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο S που δεικτοδοτεί ένα σύνολο μη επιφανειακών ομοιομορφισμών ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$ για το οποίο

${\displaystyle X=\bigcup _{s\in S}f_{s}(X)}$

Αν ${\displaystyle X\subset Y}$, αποκαλούμε το Χ αυτοομοειδές αν είναι το μόνο μη κενό υποσύνολο του Y τέτοιο ώστε η παραπάνω εξίσωση να ισχύει για ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$. ονομάζουμε

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})}$

μια αυτοομοιόμορφη δομή. Οι ομοιομορφισμοί μπορούν να επαναλαμβάνονται, με επακόλουθο ένα σύστημα επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων. Η σύνθεση των συναρτήσεων δημιουργεί την αλγεβρική δομή ενός μονοειδούς. Όταν το σύνολο S έχει μόνο δύο στοιχεία, το μονοειδές είναι γνωστό ως δυαδικό μονοειδές. Το δυαδικό μονοειδές μπορεί να απεικονιστεί ως ένα άπειρο δυαδικό δέντρο- γενικότερα, αν το σύνολο S έχει p στοιχεία, τότε το μονοειδές μπορεί να αναπαρασταθεί ως p-adic δέντρο.

Οι αυτομορφισμοί του δυαδικού μονοειδούς είναι η σπονδυλωτή ομάδα- οι αυτομορφισμοί μπορούν να απεικονιστούν ως υπερβολικές περιστροφές του δυαδικού δέντρου.

Μια πιο γενική έννοια από την αυτοομοιότητα είναι η αυτοομοιότητα.

Παραδείγματα

Η αυτοομοιότητα στο σύνολο Μάντελμπροτ παρουσιάζεται με μεγέθυνση στο σημείο Φάιγκενμπαουμ στο σημείο (−1.401155189..., 0)

Μια εικόνα της φτέρης του Μπάρνσλεϊ που παρουσιάζει συγγενική αυτοομοιότητα

Το σύνολο Μάντελμπροτ είναι επίσης αυτοομοιόμορφο γύρω από τα σημεία Μισιούρεβιτς.

Η αυτοομοιότητα έχει σημαντικές συνέπειες για το σχεδιασμό των δικτύων υπολογιστών, καθώς η τυπική δικτυακή κίνηση παρουσιάζει αυτοομοιόμορφες ιδιότητες. Παραδείγματος χάριν, στη μηχανική της τηλεπικοινωνιακής κίνησης, τα πρότυπα κίνησης δεδομένων μεταγωγής πακέτων φαίνεται να είναι στατιστικά αυτοομοιόμορφα.^[9] Αυτή η ιδιότητα σημαίνει ότι τα απλά μοντέλα που χρησιμοποιούν κατανομή Πουασσόν είναι ανακριβή και τα δίκτυα που σχεδιάζονται χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η αυτοομοιομορφία είναι πιθανό να λειτουργούν με απροσδόκητους τρόπους.

Παρομοίως, οι κινήσεις των χρηματιστηριακών αγορών περιγράφονται ως εμφανίζουσες αυτοομοιότητα, δηλαδή εμφανίζονται αυτοομοειδείς όταν μετασχηματίζονται μέσω ενός κατάλληλου συγγενικού μετασχηματισμού για το επίπεδο λεπτομέρειας που παρουσιάζεται^[10]. Ο Άντριου Λο περιγράφει την αυτοομοιότητα των λογαριθμικών αποδόσεων των χρηματιστηριακών αγορών στην οικονομετρία ^[11].

Οι κανόνες πεπερασμένης υποδιαίρεσης είναι μια ισχυρή τεχνική για τη δημιουργία αυτοομοειδών συνόλων, συμπεριλαμβανομένου του συνόλου Κάντορ και του τριγώνου Σιερπίνσκι.

Ένα τρίγωνο που υποδιαιρείται επανειλημμένα με χρήση βαρυκεντρικής υποδιαίρεσης. Το συμπλήρωμα των μεγάλων κύκλων μετατρέπεται σε χαλί Σιερπίνσκι

Στην Επιστήμη συστημάτων

Το μοντέλο βιώσιμου συστήματος του Στάφορντ Μπιρ είναι ένα οργανωτικό μοντέλο με μια αφινική αυτοομοιόμορφη ιεραρχία, όπου ένα δεδομένο βιώσιμο σύστημα είναι ένα στοιχείο του Συστήματος Ένα ενός βιώσιμου συστήματος ένα αναδρομικό επίπεδο ψηλότερα, και για το οποίο τα στοιχεία του Συστήματος Ένα είναι βιώσιμα συστήματα ένα αναδρομικό επίπεδο χαμηλότερα.

Στη φύση

Κοντινό πλάνο ενός μπρόκολου Romanesco.

Η αυτοομοιότητα μπορεί να βρεθεί και στη φύση. Στα δεξιά είναι μια μαθηματικά παραγόμενη, τέλεια αυτο-ομοιόμορφη εικόνα μιας φτέρης, η οποία έχει έντονη ομοιότητα με τις φυσικές φτέρες. Άλλα φυτά, όπως το μπρόκολο Ρομανέσκο, παρουσιάζουν έντονη αυτοομοιότητα.

Παρατήρηση

Σημειώστε ότι ο όρος "φράκταλ" σε αυτή τη σελίδα είναι μια καθομιλουμένη ονομασία. Δεν υπονοεί απαραίτητα το γενικότερο χαρακτηριστικό των φράκταλ, στο οποίο τα γενικά σχήματα επαναλαμβάνονται σε μικρότερες κλίμακες.

Στη μουσική

• Οι αυστηροί κανόνες εμφανίζουν διάφορους τύπους και ποσότητες αυτοομοιότητας, όπως και τα τμήματα των φούγκων.
• Ένας τόνος Σέπαρντ είναι αυτοομοιογενής στα πεδία της συχνότητας ή του μήκους κύματος.
• Ο Δανός συνθέτης Περ Νόργκαρντ χρησιμοποίησε σε μεγάλο μέρος της μουσικής του μια αυτοομοιόμορφη ακολουθία ακεραίων αριθμών που ονομάζεται "σειρά απείρου".
• Στο ερευνητικό πεδίο της ανάκτησης μουσικής πληροφορίας, η αυτοομοιότητα αναφέρεται συνήθως στο γεγονός ότι η μουσική συχνά αποτελείται από μέρη που επαναλαμβάνονται στο χρόνο^[12]. Με άλλα λόγια, η μουσική είναι αυτοομοιότητα υπό χρονική μετάφραση, παρά (ή επιπλέον) υπό διαβάθμιση^[13].

Δημοσιεύσεις

• "Copperplate Chevrons" — a self-similar fractal zoom movie
• "Self-Similarity" — New articles about Self-Similarity. Waltz Algorithm

Αυτοσυγγένεια

• Mandelbrot, Benoit B. (1985). «Self-affinity and fractal dimension». Physica Scripta 32 (4): 257–260. doi:10.1088/0031-8949/32/4/001. Bibcode: 1985PhyS...32..257M. http://users.math.yale.edu/mandelbrot/web_pdfs/112selfAffinity.pdf. 
• Sapozhnikov, Victor; Foufoula-Georgiou, Efi (May 1996). «Self-Affinity in Braided Rivers». Water Resources Research 32 (5): 1429–1439. doi:10.1029/96wr00490. Bibcode: 1996WRR....32.1429S. http://efi.eng.uci.edu/papers/efg_023.pdf. Ανακτήθηκε στις 30 July 2018. 
• Benoît B. Mandelbrot (2002). Gaussian Self-Affinity and Fractals: Globality, the Earth, 1/F Noise, and R/S. Springer. ISBN 978-0387989938. 

Δείτε επίσης

• Μπρόκολο Ρομανέσκο
• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές

1. Μπενουά Μάντελμπροτ, (1982). The Fractal Geometry of Nature, σελ. 44. (ISBN 978-0716711865).
2. Mandelbrot, Benoit B. (5 May 1967). «How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension». Science. New Series 156 (3775): 636–638. doi:10.1126/science.156.3775.636. PMID 17837158. Bibcode: 1967Sci...156..636M. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2021-10-19. https://web.archive.org/web/20211019193011/http://ena.lp.edu.ua:8080/handle/ntb/52473. Ανακτήθηκε στις 2023-09-16.  PDF
3. Hassan M. K., Hassan M. Z., Pavel N. I. (2011). «Dynamic scaling, data-collapseand Self-similarity in Barabasi-Albert networks». J. Phys. A: Math. Theor. 44 (17): 175101. doi:10.1088/1751-8113/44/17/175101. Bibcode: 2011JPhA...44q5101K. 
4. Hassan M. K., Hassan M. Z. (2009). «Emergence of fractal behavior in condensation-driven aggregation». Phys. Rev. E 79 (2): 021406. doi:10.1103/physreve.79.021406. PMID 19391746. Bibcode: 2009PhRvE..79b1406H. 
5. Dayeen F. R., Hassan M. K. (2016). «Multi-multifractality, dynamic scaling and neighbourhood statistics in weighted planar stochastic lattice». Chaos, Solitons & Fractals 91: 228. doi:10.1016/j.chaos.2016.06.006. Bibcode: 2016CSF....91..228D. 
6. Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar; Maletsky, Evan; Perciante, Terry; and Yunker, Lee (1991). Fractals for the Classroom: Strategic Activities Volume One, p.21. Springer-Verlag, New York. (ISBN 0-387-97346-X) and (ISBN 3-540-97346-X).
7. Peitgen, et al (1991), p.2-3.
8. Comment j'ai découvert les fractales, Interview de Benoit Mandelbrot, La Recherche https://www.larecherche.fr/math%C3%A9matiques-histoire-des-sciences/%C2%AB-comment-jai-d%C3%A9couvert-les-fractales-%C2%BB
9. Leland, W.E.; Taqqu, M.S. και άλλοι. (January 1995). «On the self-similar nature of Ethernet traffic (extended version)». IEEE/ACM Transactions on Networking 2 (1): 1–15. doi:10.1109/90.282603. http://ccr.sigcomm.org/archive/1995/jan95/ccr-9501-leland.pdf. 
10. Benoit Mandelbrot (February 1999). «How Fractals Can Explain What's Wrong with Wall Street». Scientific American. https://www.scientificamerican.com/article/multifractals-explain-wall-street/. 
11. Campbell, Lo and MacKinlay (1991) "Econometrics of Financial Markets ", Princeton University Press! (ISBN 978-0691043012)
12. Foote, Jonathan (30 Οκτωβρίου 1999). «Visualizing music and audio using self-similarity». Proceedings of the seventh ACM international conference on Multimedia (Part 1) (PDF). σελίδες 77–80. doi:10.1145/319463.319472. ISBN 978-1581131512. Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 9 Αυγούστου 2017. 
13. Pareyon, Gabriel (Απριλίου 2011). On Musical Self-Similarity: Intersemiosis as Synecdoche and Analogy (PDF). International Semiotics Institute at Imatra; Semiotic Society of Finland. σελ. 240. ISBN 978-952-5431-32-2. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 8 Φεβρουαρίου 2017. Ανακτήθηκε στις 30 Ιουλίου 2018.  (Also see Google Books)