Κοινωνικός αριθμός

Στα μαθηματικά, οι κοινωνικοί αριθμοί είναι αριθμοί των οποίων το άθροισμα των ομαλών διαιρετών τους σχηματίζουν μια κυκλική ακολουθία που αρχίζει και τελειώνει με τον ίδιο αριθμό. Είναι γενικεύσεις των εννοιών των φιλικών αριθμών και των τέλειων αριθμών. Οι δύο πρώτες κοινωνικές ακολουθίες, ή κοινωνικές αλυσίδες, ανακαλύφθηκαν και ονομάστηκαν από τον Βέλγο μαθηματικό Πωλ Πουλέ το 1918.^[1] Σε ένα σύνολο κοινωνικών αριθμών, κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του προηγούμενου αριθμού, δηλαδή, το άθροισμα αποκλείει τον ίδιο τον προηγούμενο αριθμό. Για να είναι η αλληλουχία κοινωνική, η ακολουθία πρέπει να είναι κυκλική και να επιστρέψει στο σημείο εκκίνησης.

Η περίοδος της ακολουθίας ή της σειράς του συνόλου των κοινωνικών αριθμών είναι ο αριθμός των αριθμών σε αυτόν τον κύκλο.

Εάν η περίοδος της ακολουθίας είναι 1, ο αριθμός είναι ένας κοινωνικός αριθμός της τάξης 1 ή ένας τέλειος αριθμός – για παράδειγμα, οι κατάλληλοι διαιρέτες του 6 είναι το 1, 2 και 3, των οποίων το άθροισμα είναι και πάλι 6. Ένα ζευγάρι φιλικών αριθμών είναι ένα σύνολο κοινωνικών αριθμών της τάξης 2. Δεν υπάρχουν γνωστοί κοινωνικοί αριθμοί της τάξης 3 και οι αναζητήσεις τους έχουν ολοκληρωθεί μέχρι ${\displaystyle 5\times 10^{7}}$ από το 1970.^[2]

Είναι ανοιχτό το ερώτημα αν όλοι οι αριθμοί καταλήγουν είτε σε έναν κοινωνικό αριθμό είτε σε έναν πρώτο (και ως εκ τούτου 1), ή, ισοδύναμα, εάν υπάρχουν αριθμοί των οποίων η ακολουθία δεν τελειώνει ποτέ, και ως εκ τούτου μεγαλώνει χωρίς δεσμεύσεις.

Παράδειγμα

Ένα παράδειγμα με περίοδο 4:

Το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του ${\displaystyle 1.264.460}$ (${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 17\cdot 3.719}$ ) είναι:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3.719 + 7.438 + 14.876 + 18.595 + 37.190 + 63.223 + 74.380 + 126.446 + 252.892 + 316.115 + 632.230 = 1.547.860,

το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του ${\displaystyle 1.547.860}$ ( ${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 193\cdot 401}$ ) είναι:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1.604 + 1.930 + 2.005 + 3.860 + 4.010 + 8.020 + 77.393 + 154.786 + 309.572 + 386.965 + 773.930 = 1.727.636,

το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του ${\displaystyle 1.727.636}$ ( ${\displaystyle =2^{2}\cdot 521\cdot 829}$ ) είναι:

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1.042 + 1.658 + 2.084 + 3.316 + 431.909 + 863.818 = 1.305.184 και

το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του ${\displaystyle 1.305.184}$ ( ${\displaystyle =2^{5}\cdot 40.787}$ ) είναι:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40.787 + 81.574 + 163.148 + 326.296 + 652.592 = 1.264.460.

Λίστα γνωστών κοινωνικών αριθμών

Ο παρακάτω πίνακας κατηγοριοποιεί όλους τους γνωστούς κοινωνικούς αριθμούς ως τον Ιούλιο του 2018 κατά το μήκος της αντίστοιχης ακολουθίας:

Μήκος ακολουθίας	Αριθμός γνωστών ακολουθιών	Χαμηλότερος αριθμός της ακολουθίας[3]
1 (Τέλειος αριθμός)	51	6
2 (Φιλικός αριθμός)	1.225.736.919[4]	220
4	5.398	1.264.460
5	1	12.496
6	5	21.548.919.483
8	4	1.095.447.416
9	1	805.984.760
28	1	14.316

Υποτίθεται ότι εάν το ν είναι σύμφωνο με το 3 modulo 4 τότε δεν υπάρχει τέτοια ακολουθία με μήκος ν.

Η ακολουθία 5 κύκλων είναι: 12.496, 14.288, 15.472, 14.536, 14.264

Η μόνη γνωστή ακολουθία 28 κύκλων είναι: 14.316, 19.116, 31.704, 47.616, 83.328, 177.792, 295.488, 629.072, 589.786, 294.896, 358.336, 418.904, 366.556, 274.924, 275.444, 243.760, 376.736, 381.028, 285.778, 152.990, 122.410, 97.946, 48.976, 45.946, 22.976, 22.744, 19.916, 17.716 (ακολουθία A072890 στην OEIS).

Αυτές οι δύο ακολουθίες παρέχουν τους μοναδικούς κοινωνικούς αριθμούς κάτω από 1 εκατομμύριο (εκτός από τους τέλειους και φιλικούς αριθμούς).

Αναζήτηση για κοινωνικούς αριθμούς

Η αλληλουχία του κλάσματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα κατευθυνόμενο γράφημα, ${\displaystyle G_{\nu ,s}}$, για έναν δεδομένο ακέραιο ν, όπου s(κ) δηλώνει το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του κ.^[5] Κύκλοι σε ${\displaystyle G_{\nu ,s}}$ αντιπροσωπεύουν κοινωνικούς αριθμούς μέσα στο διάστημα ${\displaystyle [1,\nu ]}$. Δύο ειδικές περιπτώσεις είναι βρόχοι που αντιπροσωπεύουν τέλειους αριθμούς και κύκλους μήκους δύο που αντιπροσωπεύουν φιλικά ζεύγη.

Εικασία του αθροίσματος των κύκλων των κοινωνικών αριθμών

Υποτίθεται ότι καθώς ο αριθμός των κύκλων των κοινωνικών αριθμών με μήκος μεγαλύτερο από 2 πλησιάζει στο άπειρο, το ποσοστό των αθροισμάτων των κύκλων των κοινωνικών αριθμών διαιρούμενο με 10 προσεγγίζει το 100% (ακολουθία A292217 στην OEIS).

Bιβλιογραφικές αναφορές

 

1. P. Poulet, #4865, L'Intermédiaire des Mathématiciens 25 (1918), pp. 100–101. (The full text can be found at ProofWiki: Catalan-Dickson Conjecture.)
2. Bratley, Paul; Lunnon, Fred; McKay, John (1970). «Amicable numbers and their distribution» (στα αγγλικά). Mathematics of Computation 24 (110): 431–432. doi:10.1090/S0025-5718-1970-0271005-8. ISSN 0025-5718. http://www.ams.org/home/page/. 
3. https://oeis.org/A003416 cross referenced with https://oeis.org/A052470
4. Sergei Chernykh Amicable pairs list
5. Rocha, Rodrigo Caetano; Thatte, Bhalchandra (2015), Distributed cycle detection in large-scale sparse graphs, Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), doi:10.13140/RG.2.1.1233.8640 

• Χ. Κοέν, Για φιλικούς και κοινωνικούς αριθμούς, Μαθηματικά. Comp. 24 (1970), σελ. 423–429

Eξωτερικοί σύνδεσμοι

• Μια λίστα με γνωστούς κοινωνικούς αριθμούς
• Εκτεταμένοι πίνακες με τέλειους, φιλικούς και κοινωνικούς αριθμούς
• Weisstein, Eric W., "Sociable numbers" από το MathWorld.
• A003416 (ο μικρότερος κοινωνικός αριθμός από κάθε κύκλο) και A122726 (όλοι οι κοινωνικοί αριθμοί) στο OEIS