Η μορφοκλασματική ανάλυση συνίσταται στην αξιολόγηση των μορφοκλασματικών χαρακτηριστικών των δεδομένων. Αποτελείται από διάφορες μεθόδους για την απόδοση μιας διάστασης φράκταλ και άλλων χαρακτηριστικών φράκταλ σε ένα σύνολο δεδομένων, το οποίο μπορεί να είναι ένα θεωρητικό σύνολο δεδομένων ή ένα μοτίβο ή σήμα που εξάγεται από φαινόμενα όπως η τοπογραφία,[1] τα φυσικά γεωμετρικά αντικείμενα, η οικολογία και οι επιστήμες των υδάτων,[2] ο ήχος, οι διακυμάνσεις της αγοράς,[3][4][5] οι καρδιακοί παλμοί,[6] το πεδίο συχνοτήτων σε σήματα ηλεκτροεγκεφαλογραφημάτων,[7][8] οι ψηφιακές εικόνες,[9] η μοριακή κίνηση και η επιστήμη των δεδομένων. Η μορφοκλασματική ανάλυση χρησιμοποιείται πλέον ευρέως σε όλους τους τομείς της επιστήμης[10]. Ένας σημαντικός περιορισμός της μορφοκλασματικής ανάλυσης είναι ότι η κατάληξη σε μια εμπειρικά καθορισμένη μορφοκλασματική διάσταση δεν αποδεικνύει απαραίτητα ότι ένα πρότυπο είναι φράκταλ- πρέπει να ληφθούν υπόψιν και άλλα ουσιώδη χαρακτηριστικά[11]. Η μορφοκλασματική ανάλυση είναι πολύτιμη για την διεύρυνση των γνώσεών μας σχετικά με τη δομή και τη λειτουργία διαφόρων συστημάτων και ως πιθανό εργαλείο για τη μαθηματική αξιολόγηση νέων τομέων μελέτης. Ο μορφοκλασματικός λογισμός, ο οποίος αποτελεί γενίκευση του συνήθους λογισμού, είναι η διατύπωσή του.[12]
Τα φράκταλ έχουν μορφοκλασματικές διαστάσεις, οι οποίες είναι ένα μέτρο πολυπλοκότητας που δείχνει το βαθμό στον οποίο τα αντικείμενα γεμίζουν το διαθέσιμο χώρο.[11][13]. Η μορφοκλασματική διάσταση μετρά την αλλαγή στο "μέγεθος" ενός φράκταλ συνόλου με την αλλαγή της κλίμακας παρατήρησης και δεν περιορίζεται από ακέραιες τιμές. [2] Αυτό το χαρακτηριστικό ονομάζεται αναλλοίωτο κλίμακας και μπορεί να κατηγοριοποιηθεί ως αυτοομοιότητα ή αυτοσυγγένεια, με την τελευταία να κλιμακώνεται ανισοτροπικά (ανάλογα με την κατεύθυνση).[11] Είτε η όψη του φράκταλ διαστέλλεται είτε συρρικνώνεται, η δομή παραμένει η ίδια και φαίνεται να έχει ισοδύναμη πολυπλοκότητα.[2] Είτε η όψη του φράκταλ διαστέλλεται είτε συρρικνώνεται, η δομή παραμένει η ίδια και φαίνεται να έχει ισοδύναμη πολυπλοκότητα.[11][13] Η μορφοκλασματική ανάλυση χρησιμοποιεί αυτές τις υποκείμενες ιδιότητες για να βοηθήσει στην κατανόηση και τον χαρακτηρισμό πολύπλοκων συστημάτων. Είναι επίσης δυνατό να επεκταθεί η χρήση των φράκταλ κατά την απουσία μιας ενιαίας χαρακτηριστικής χρονικής κλίμακας ή ενός προτύπου.[14]
Υπάρχουν διάφοροι τύποι ανάλυσης φράκταλ, συμπεριλαμβανομένων της καταμέτρησης κουτιών, της ανάλυσης κενότητας (lacunarity), των μεθόδων μάζας και της πολυμορφοκλασματικής ανάλυσης.[1][3][11] Κοινό χαρακτηριστικό όλων των τύπων μορφοκλασματικής ανάλυσης είναι η ανάγκη για πρότυπα αναφοράς με βάση τα οποία μπορούν να αξιολογηθούν οι εκροές.[15] Αυτά μπορούν να αποκτηθούν με διάφορους τύπους λογισμικού δημιουργίας φράκταλ που είναι ικανά να παράγουν πρότυπα αναφοράς κατάλληλα για το σκοπό αυτό, τα οποία γενικά διαφέρουν από το λογισμικό που έχει σχεδιαστεί για την απόδοση κλασματικής τέχνης. Άλλοι τύποι περιλαμβάνουν την ανάλυση αποπροσανατολισμένων διακυμάνσεων και τη μέθοδο (Απόλυτη τιμή Χερστ) Hurst absolute value, οι οποίες εκτιμούν τον Εκθέτη Χερστ.[16] Προτείνεται να χρησιμοποιούνται περισσότερες από μία προσεγγίσεις για τη σύγκριση των αποτελεσμάτων και την αύξηση της αξιοπιστίας των συμπερασμάτων.
Σε αντίθεση με τις θεωρητικές μορφοκλασματικές καμπύλες, οι οποίες μπορούν εύκολα να μετρηθούν και να υπολογιστούν οι υποκείμενες μαθηματικές ιδιότητες, τα φυσικά συστήματα είναι πηγές ετερογένειας και δημιουργούν πολύπλοκες χωροχρονικές δομές που μπορεί να παρουσιάζουν μόνο μερική αυτοομοιότητα[17][18][19]. Με τη χρήση της μορφοκλασματικής ανάλυσης είναι δυνατή η ανάλυση και η αναγνώριση της μεταβολής των χαρακτηριστικών των πολύπλοκων οικολογικών συστημάτων, καθώς τα φράκταλ είναι ικανά να χαρακτηρίσουν τη φυσική πολυπλοκότητα των συστημάτων αυτών[20]. Με τον τρόπο αυτό, η μορφοκλασματική ανάλυση μπορεί να βοηθήσει στην ποσοτικοποίηση των προτύπων στη φύση και στον εντοπισμό των αποκλίσεων από αυτές τις φυσικές ακολουθίες. Βοηθά στη βελτίωση της συνολικής κατανόησης των οικοσυστημάτων και στην αποκάλυψη ορισμένων από τους υποκείμενους δομικούς μηχανισμούς της φύσης[13][21][22]. Παραδείγματος χάριν, διαπιστώθηκε ότι η δομή του ξυλώματος ενός μεμονωμένου δέντρου ακολουθεί την ίδια αρχιτεκτονική με τη χωρική κατανομή των δέντρων στο δάσος και ότι η κατανομή των δέντρων στο δάσος μοιράζεται την ίδια υποκείμενη μορφοκλασματική δομή με τα κλαδιά, κλιμακούμενη πανομοιότυπα σε σημείο όπου το μοτίβο των κλαδιών των δέντρων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον μαθηματικό προσδιορισμό της δομής της δασικής συστάδας[23][24]. Η χρήση της μορφοκλασματικής ανάλυσης για την κατανόηση της δομής και της χωρικής και χρονικής πολυπλοκότητας των βιολογικών συστημάτων έχει ήδη μελετηθεί επαρκώς και η χρήση της συνεχίζει να αυξάνεται στην οικολογική έρευνα[25][26][27][28]. Παρά την ευρεία χρήση της, εξακολουθεί να αποτελεί αντικείμενο ορισμένων επικρίσεων[29][30].
Τα πρότυπα στη συμπεριφορά των ζώων παρουσιάζουν μορφοκλασματικές ιδιότητες σε χωρικές και χρονικές κλίμακες[16]. Η μορφοκλασματική ανάλυση βοηθά στην κατανόηση της συμπεριφοράς των ζώων και του τρόπου με τον οποίο αλληλεπιδρούν με το περιβάλλον τους σε πολλαπλές κλίμακες στο χώρο και στο χρόνο[2]. Διάφορες υπογραφές της κίνησης των ζώων στο αντίστοιχο περιβάλλον τους έχει βρεθεί ότι παρουσιάζουν χωρικά μη γραμμικά κλασματικά πρότυπα[31][32]. Αυτό δημιούργησε οικολογικές ερμηνείες όπως η υπόθεση της αναζήτησης τροφής με πτήση Λεβί, η οποία έχει αποδειχθεί ότι είναι μια πιο ακριβής περιγραφή της κίνησης των ζώων για ορισμένα είδη[33][34][35].
Τα χωρικά μοτίβα και οι ακολουθίες συμπεριφοράς των ζώων στον μορφοκλασματικό χρόνο έχουν ένα βέλτιστο εύρος πολυπλοκότητας, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως η ομοιοστατική κατάσταση στο φάσμα όπου η ακολουθία πολυπλοκότητας πρέπει να εμπίπτει τακτικά. Μια αύξηση ή απώλεια της πολυπλοκότητας, είτε γίνονται πιο στερεότυπα είτε αντίθετα πιο τυχαία τα πρότυπα συμπεριφοράς τους, υποδηλώνει ότι πρόκειται για μια μεταβολή στη λειτουργικότητα του ζώου[14][36]. Με τη βοήθεια της μορφοκλασματικής ανάλυσης, είναι δυνατόν να εξεταστεί η διαδοχική πολυπλοκότητα της κίνησης της συμπεριφοράς των ζώων και να προσδιοριστεί αν τα ζώα παρουσιάζουν αποκλίσεις από το βέλτιστο εύρος τους, γεγονός που υποδηλώνει μια αλλαγή στην κατάσταση[37][38]. Παραδείγματος χάριν, χρησιμοποιήθηκε για την αξιολόγηση της ευημερίας των οικόσιτων πτηνών [20], του στρες των ρινοδέλφινων ως απόκριση στην ανθρώπινη ενόχληση[39] και των παρασιτικών λοιμώξεων σε ιαπωνικούς μακάκους[38] και πρόβατα [37]. Η έρευνα προάγει τον τομέα της οικολογίας της συμπεριφοράς απλοποιώντας και ποσοτικοποιώντας εξαιρετικά πολύπλοκες σχέσεις.[40]. Όσον αφορά την καλή διαβίωση και τη διατήρηση των ζώων, η μορφοκλασματική ανάλυση καθιστά δυνατό τον εντοπισμό πιθανών πηγών στρες στη συμπεριφορά των ζώων, παράγοντες στρες που δεν είναι πάντα διακριτοί στη συμβατική συμπεριφορική έρευνα[20][41][42].
Αυτή η προσέγγιση είναι πιο αντικειμενική από τις κλασικές μετρήσεις συμπεριφοράς, όπως οι παρατηρήσεις με βάση τη συχνότητα που περιορίζονται από τον αριθμό των συμπεριφορών, αλλά είναι σε θέση να εμβαθύνει στην υποκείμενη αιτία της συμπεριφοράς[36]. Ένα άλλο σημαντικό πλεονέκτημα της μορφοκλασματικής ανάλυσης είναι η δυνατότητα παρακολούθησης της υγείας των πληθυσμών άγριων και ελεύθερων ζώων στα φυσικά τους ενδιαιτήματα χωρίς επεμβατικές μετρήσεις.
Σχεδιασμός ηλεκτρονικών υπολογιστών και βιντεοπαιχνιδιών, ιδίως γραφικά υπολογιστών για οργανικά περιβάλλοντα και ως μέρος της διαδικαστικής δημιουργίας
Φρακτογραφία και μηχανική των θραυσμάτων
Φρακταλικές κεραίες - κεραίες μικρού μεγέθους με χρήση μορφοκλασματικών σχημάτων
Θεωρία σκέδασης μικρών γωνιών σε συστήματα με φράκταλ τραχύτητα
Μπλουζάκια και άλλα είδη μόδας
Παραγωγή μοτίβων για καμουφλάζ, όπως το MARPAT
Ψηφιακό ηλιακό ρολόι
Τεχνική ανάλυση σειρών τιμών (βλ. αρχή των κυμάτων Έλιοτ)
Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, 1982, W. H. Freeman & Co. ISBN 0716711869. Trad. : Les objets fractals. Forme, chance et dimension, Flammarion, 2e éd., 1984.
T. M. Michelitsch, G. A. Maugin, F. C. G. A. Nicolleau, A. F. Nowakowski et S. Derogar, « Dispersion relations and wave operators in self-similar quasicontinuous linear chains », Phys. Rev. E 80, 011135 (2009), English et French.
↑ 3,03,1Peters, Edgar (1996). Chaos and order in the capital markets: a new view of cycles, prices, and market volatility. New York: Wiley. ISBN978-0-471-13938-6.
↑Kamenshchikov, S. (2014). «Transport Catastrophe Analysis as an Alternative to a Monofractal Description: Theory and Application to Financial Crisis Time Series». Journal of Chaos2014: 1–8. doi:10.1155/2014/346743.
↑Hisonothai, M.· Nakagawa, M. (2008). «EEG signal classification method based on fractal features and neural network». 2008 30th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. 2008. σελίδες 3880–3. doi:10.1109/IEMBS.2008.4650057. ISBN978-1-4244-1814-5.
↑ 14,014,1Goldberger, Ary L; Peng, C.-K; Lipsitz, Lewis A (January 2002). «What is physiologic complexity and how does it change with aging and disease?». Neurobiology of Aging23 (1): 23–26. doi:10.1016/S0197-4580(01)00266-4. PMID11755014.
↑Frontier, Serge (1987), «Applications of Fractal Theory to Ecology», Develoments in Numerical Ecology, Springer Berlin Heidelberg, σελ. 335–378, doi:10.1007/978-3-642-70880-0_9, ISBN9783642708824
↑Scheuring, István; Riedi, Rudolf H. (August 1994). «Application of multifractals to the analysis of vegetation pattern». Journal of Vegetation Science5 (4): 489–496. doi:10.2307/3235975.
↑Morse, D. R.; Lawton, J. H.; Dodson, M. M.; Williamson, M. H. (April 1985). «Fractal dimension of vegetation and the distribution of arthropod body lengths». Nature314 (6013): 731–733. doi:10.1038/314731a0. ISSN0028-0836. Bibcode: 1985Natur.314..731M.
↑Li, Xiaoyan; Passow, Uta; Logan, Bruce E (January 1998). «Fractal dimensions of small (15–200 μm) particles in Eastern Pacific coastal waters». Deep Sea Research Part I: Oceanographic Research Papers45 (1): 115–131. doi:10.1016/s0967-0637(97)00058-7. ISSN0967-0637.
↑Halley, J. M.; Hartley, S.; Kallimanis, A. S.; Kunin, W. E.; Lennon, J. J.; Sgardelis, S. P. (2004-02-24). «Uses and abuses of fractal methodology in ecology». Ecology Letters7 (3): 254–271. doi:10.1111/j.1461-0248.2004.00568.x. ISSN1461-023X.
↑Cribb, Nardi; Seuront, Laurent (September 2016). «Changes in the behavioural complexity of bottlenose dolphins along a gradient of anthropogenically-impacted environments in South Australian coastal waters: Implications for conservation and management strategies». Journal of Experimental Marine Biology and Ecology482: 118–127. doi:10.1016/j.jembe.2016.03.020. ISSN0022-0981.
↑Bradbury, J. W.; Vehrencamp, S. L. (2014-05-01). «Complexity and behavioral ecology». Behavioral Ecology25 (3): 435–442. doi:10.1093/beheco/aru014. ISSN1045-2249.
↑Alados, C.L.; Escos, J.M.; Emlen, J.M. (February 1996). «Fractal structure of sequential behaviour patterns: an indicator of stress». Animal Behaviour51 (2): 437–443. doi:10.1006/anbe.1996.0040.
↑França, L. G. S.; Montoya, Pedro; Miranda, J. G. V. (2017). «On multifractals: a non-linear study of actigraphy data». Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications514: 612–619. doi:10.1016/j.physa.2018.09.122.
↑Li, H. (2013). «Fractal analysis of side channels for breakdown structures in XLPE cable insulation». J Mater Sci: Mater Electron24 (5): 1640–1643. doi:10.1007/s10854-012-0988-y.
↑Karperien, Audrey L.; Jelinek, Herbert F.; Buchan, Alastair M. (2008). «Box-Counting Analysis of Microglia Form in Schizophrenia, Alzheimer's Disease and Affective Disorder». Fractals16 (2): 103–107. doi:10.1142/S0218348X08003880.
↑Burkle-Elizondo, Gerardo; Valdéz-Cepeda, Ricardo David (2006). «Fractal analysis of Mesoamerican pyramids». Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences10 (1): 105–122. PMID16393505.
↑Brown, Clifford T.; Witschey, Walter R. T.; Liebovitch, Larry S. (2005). «The Broken Past: Fractals in Archaeology». Journal of Archaeological Method and Theory12: 37–78. doi:10.1007/s10816-005-2396-6.
↑Vannucchi, Paola; Leoni, Lorenzo (2007). «Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing». Earth and Planetary Science Letters262 (3–4): 413–428. doi:10.1016/j.epsl.2007.07.056. Bibcode: 2007E&PSL.262..413V.
↑
Didier Sornette (2004). Critical phenomena in natural sciences: chaos, fractals, self-organization, and disorder: concepts and tools. Springer. σελίδες 128–140. ISBN978-3-540-40754-6.
↑Hu, Shougeng; Cheng, Qiuming; Wang, Le; Xie, Shuyun (2012). «Multifractal characterization of urban residential land price in space and time». Applied Geography34: 161–170. doi:10.1016/j.apgeog.2011.10.016.
↑Brothers, Harlan J. (2007). «Structural Scaling in Bach's Cello Suite No. 3». Fractals15: 89–95. doi:10.1142/S0218348X0700337X.
↑Brothers, Harlan J. (2009). «Intervallic Scaling In The Bach Cello Suites». Fractals17 (4): 537–545. doi:10.1142/S0218348X09004521.