Μορφοκλασματική ανάλυση

Μορφοκλασματική διακλάδωση ενός δέντρου

Η μορφοκλασματική ανάλυση συνίσταται στην αξιολόγηση των μορφοκλασματικών χαρακτηριστικών των δεδομένων. Αποτελείται από διάφορες μεθόδους για την απόδοση μιας διάστασης φράκταλ και άλλων χαρακτηριστικών φράκταλ σε ένα σύνολο δεδομένων, το οποίο μπορεί να είναι ένα θεωρητικό σύνολο δεδομένων ή ένα μοτίβο ή σήμα που εξάγεται από φαινόμενα όπως η τοπογραφία,[1] τα φυσικά γεωμετρικά αντικείμενα, η οικολογία και οι επιστήμες των υδάτων,[2] ο ήχος, οι διακυμάνσεις της αγοράς,[3][4][5] οι καρδιακοί παλμοί,[6] το πεδίο συχνοτήτων σε σήματα ηλεκτροεγκεφαλογραφημάτων,[7][8] οι ψηφιακές εικόνες,[9] η μοριακή κίνηση και η επιστήμη των δεδομένων. Η μορφοκλασματική ανάλυση χρησιμοποιείται πλέον ευρέως σε όλους τους τομείς της επιστήμης[10]. Ένας σημαντικός περιορισμός της μορφοκλασματικής ανάλυσης είναι ότι η κατάληξη σε μια εμπειρικά καθορισμένη μορφοκλασματική διάσταση δεν αποδεικνύει απαραίτητα ότι ένα πρότυπο είναι φράκταλ- πρέπει να ληφθούν υπόψιν και άλλα ουσιώδη χαρακτηριστικά[11]. Η μορφοκλασματική ανάλυση είναι πολύτιμη για την διεύρυνση των γνώσεών μας σχετικά με τη δομή και τη λειτουργία διαφόρων συστημάτων και ως πιθανό εργαλείο για τη μαθηματική αξιολόγηση νέων τομέων μελέτης. Ο μορφοκλασματικός λογισμός, ο οποίος αποτελεί γενίκευση του συνήθους λογισμού, είναι η διατύπωσή του.[12]

Βασικές αρχές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα φράκταλ έχουν μορφοκλασματικές διαστάσεις, οι οποίες είναι ένα μέτρο πολυπλοκότητας που δείχνει το βαθμό στον οποίο τα αντικείμενα γεμίζουν το διαθέσιμο χώρο.[11][13]. Η μορφοκλασματική διάσταση μετρά την αλλαγή στο "μέγεθος" ενός φράκταλ συνόλου με την αλλαγή της κλίμακας παρατήρησης και δεν περιορίζεται από ακέραιες τιμές. [2] Αυτό το χαρακτηριστικό ονομάζεται αναλλοίωτο κλίμακας και μπορεί να κατηγοριοποιηθεί ως αυτοομοιότητα ή αυτοσυγγένεια, με την τελευταία να κλιμακώνεται ανισοτροπικά (ανάλογα με την κατεύθυνση).[11] Είτε η όψη του φράκταλ διαστέλλεται είτε συρρικνώνεται, η δομή παραμένει η ίδια και φαίνεται να έχει ισοδύναμη πολυπλοκότητα.[2] Είτε η όψη του φράκταλ διαστέλλεται είτε συρρικνώνεται, η δομή παραμένει η ίδια και φαίνεται να έχει ισοδύναμη πολυπλοκότητα.[11][13] Η μορφοκλασματική ανάλυση χρησιμοποιεί αυτές τις υποκείμενες ιδιότητες για να βοηθήσει στην κατανόηση και τον χαρακτηρισμό πολύπλοκων συστημάτων. Είναι επίσης δυνατό να επεκταθεί η χρήση των φράκταλ κατά την απουσία μιας ενιαίας χαρακτηριστικής χρονικής κλίμακας ή ενός προτύπου.[14]

Περαιτέρω πληροφορίες για το θέμα : Φράκταλ

Τύποι μορφοκλασματικής ανάλυσης

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχουν διάφοροι τύποι ανάλυσης φράκταλ, συμπεριλαμβανομένων της καταμέτρησης κουτιών, της ανάλυσης κενότητας (lacunarity), των μεθόδων μάζας και της πολυμορφοκλασματικής ανάλυσης.[1][3][11] Κοινό χαρακτηριστικό όλων των τύπων μορφοκλασματικής ανάλυσης είναι η ανάγκη για πρότυπα αναφοράς με βάση τα οποία μπορούν να αξιολογηθούν οι εκροές.[15] Αυτά μπορούν να αποκτηθούν με διάφορους τύπους λογισμικού δημιουργίας φράκταλ που είναι ικανά να παράγουν πρότυπα αναφοράς κατάλληλα για το σκοπό αυτό, τα οποία γενικά διαφέρουν από το λογισμικό που έχει σχεδιαστεί για την απόδοση κλασματικής τέχνης. Άλλοι τύποι περιλαμβάνουν την ανάλυση αποπροσανατολισμένων διακυμάνσεων και τη μέθοδο (Απόλυτη τιμή Χερστ) Hurst absolute value, οι οποίες εκτιμούν τον Εκθέτη Χερστ.[16] Προτείνεται να χρησιμοποιούνται περισσότερες από μία προσεγγίσεις για τη σύγκριση των αποτελεσμάτων και την αύξηση της αξιοπιστίας των συμπερασμάτων.

Εφαρμογές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οικολογία και εξέλιξη

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε αντίθεση με τις θεωρητικές μορφοκλασματικές καμπύλες, οι οποίες μπορούν εύκολα να μετρηθούν και να υπολογιστούν οι υποκείμενες μαθηματικές ιδιότητες, τα φυσικά συστήματα είναι πηγές ετερογένειας και δημιουργούν πολύπλοκες χωροχρονικές δομές που μπορεί να παρουσιάζουν μόνο μερική αυτοομοιότητα[17][18][19]. Με τη χρήση της μορφοκλασματικής ανάλυσης είναι δυνατή η ανάλυση και η αναγνώριση της μεταβολής των χαρακτηριστικών των πολύπλοκων οικολογικών συστημάτων, καθώς τα φράκταλ είναι ικανά να χαρακτηρίσουν τη φυσική πολυπλοκότητα των συστημάτων αυτών[20]. Με τον τρόπο αυτό, η μορφοκλασματική ανάλυση μπορεί να βοηθήσει στην ποσοτικοποίηση των προτύπων στη φύση και στον εντοπισμό των αποκλίσεων από αυτές τις φυσικές ακολουθίες. Βοηθά στη βελτίωση της συνολικής κατανόησης των οικοσυστημάτων και στην αποκάλυψη ορισμένων από τους υποκείμενους δομικούς μηχανισμούς της φύσης[13][21][22]. Παραδείγματος χάριν, διαπιστώθηκε ότι η δομή του ξυλώματος ενός μεμονωμένου δέντρου ακολουθεί την ίδια αρχιτεκτονική με τη χωρική κατανομή των δέντρων στο δάσος και ότι η κατανομή των δέντρων στο δάσος μοιράζεται την ίδια υποκείμενη μορφοκλασματική δομή με τα κλαδιά, κλιμακούμενη πανομοιότυπα σε σημείο όπου το μοτίβο των κλαδιών των δέντρων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον μαθηματικό προσδιορισμό της δομής της δασικής συστάδας[23][24]. Η χρήση της μορφοκλασματικής ανάλυσης για την κατανόηση της δομής και της χωρικής και χρονικής πολυπλοκότητας των βιολογικών συστημάτων έχει ήδη μελετηθεί επαρκώς και η χρήση της συνεχίζει να αυξάνεται στην οικολογική έρευνα[25][26][27][28]. Παρά την ευρεία χρήση της, εξακολουθεί να αποτελεί αντικείμενο ορισμένων επικρίσεων[29][30].

Συμπεριφορά των ζώων

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα πρότυπα στη συμπεριφορά των ζώων παρουσιάζουν μορφοκλασματικές ιδιότητες σε χωρικές και χρονικές κλίμακες[16]. Η μορφοκλασματική ανάλυση βοηθά στην κατανόηση της συμπεριφοράς των ζώων και του τρόπου με τον οποίο αλληλεπιδρούν με το περιβάλλον τους σε πολλαπλές κλίμακες στο χώρο και στο χρόνο[2]. Διάφορες υπογραφές της κίνησης των ζώων στο αντίστοιχο περιβάλλον τους έχει βρεθεί ότι παρουσιάζουν χωρικά μη γραμμικά κλασματικά πρότυπα[31][32]. Αυτό δημιούργησε οικολογικές ερμηνείες όπως η υπόθεση της αναζήτησης τροφής με πτήση Λεβί, η οποία έχει αποδειχθεί ότι είναι μια πιο ακριβής περιγραφή της κίνησης των ζώων για ορισμένα είδη[33][34][35].

Τα χωρικά μοτίβα και οι ακολουθίες συμπεριφοράς των ζώων στον μορφοκλασματικό χρόνο έχουν ένα βέλτιστο εύρος πολυπλοκότητας, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως η ομοιοστατική κατάσταση στο φάσμα όπου η ακολουθία πολυπλοκότητας πρέπει να εμπίπτει τακτικά. Μια αύξηση ή απώλεια της πολυπλοκότητας, είτε γίνονται πιο στερεότυπα είτε αντίθετα πιο τυχαία τα πρότυπα συμπεριφοράς τους, υποδηλώνει ότι πρόκειται για μια μεταβολή στη λειτουργικότητα του ζώου[14][36]. Με τη βοήθεια της μορφοκλασματικής ανάλυσης, είναι δυνατόν να εξεταστεί η διαδοχική πολυπλοκότητα της κίνησης της συμπεριφοράς των ζώων και να προσδιοριστεί αν τα ζώα παρουσιάζουν αποκλίσεις από το βέλτιστο εύρος τους, γεγονός που υποδηλώνει μια αλλαγή στην κατάσταση[37][38]. Παραδείγματος χάριν, χρησιμοποιήθηκε για την αξιολόγηση της ευημερίας των οικόσιτων πτηνών [20], του στρες των ρινοδέλφινων ως απόκριση στην ανθρώπινη ενόχληση[39] και των παρασιτικών λοιμώξεων σε ιαπωνικούς μακάκους[38] και πρόβατα [37]. Η έρευνα προάγει τον τομέα της οικολογίας της συμπεριφοράς απλοποιώντας και ποσοτικοποιώντας εξαιρετικά πολύπλοκες σχέσεις.[40]. Όσον αφορά την καλή διαβίωση και τη διατήρηση των ζώων, η μορφοκλασματική ανάλυση καθιστά δυνατό τον εντοπισμό πιθανών πηγών στρες στη συμπεριφορά των ζώων, παράγοντες στρες που δεν είναι πάντα διακριτοί στη συμβατική συμπεριφορική έρευνα[20][41][42].

Αυτή η προσέγγιση είναι πιο αντικειμενική από τις κλασικές μετρήσεις συμπεριφοράς, όπως οι παρατηρήσεις με βάση τη συχνότητα που περιορίζονται από τον αριθμό των συμπεριφορών, αλλά είναι σε θέση να εμβαθύνει στην υποκείμενη αιτία της συμπεριφοράς[36]. Ένα άλλο σημαντικό πλεονέκτημα της μορφοκλασματικής ανάλυσης είναι η δυνατότητα παρακολούθησης της υγείας των πληθυσμών άγριων και ελεύθερων ζώων στα φυσικά τους ενδιαιτήματα χωρίς επεμβατικές μετρήσεις.

Οι εφαρμογές περιλαμβάνουν

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι εφαρμογές της μορφοκλασματικής ανάλυσης περιλαμβάνουν[43]:

  • Ανάλυση καρδιακού ρυθμού[44]
  • Ανθρώπινο βάδισμα, ισορροπία και δραστηριότητα[45][46]
  • Διαγνωστική απεικόνιση[47]
  • Έρευνα για τον καρκίνο[48]
  • Μορφοκλασματική ανάλυση πολύπλοκων δικτύων[49]
  • Κατηγοριοποίηση ιστοπαθολογικών διαφανειών στην ιατρική[50]
  • Πολύπλοκο τοπίο ή πολυπλοκότητα ακτογραμμών[11][51]
  • Ηλεκτρολόγος μηχανικός[52]
  • Ένζυμο / ενζυμολογία (κινητική Michaelis-Menten)[53]
  • Παραγωγή νέας μουσικής
  • Παραγωγή διαφόρων μορφών τέχνης
  • Ανίχνευση της "ζωής όπως δεν την ξέρουμε" με μορφοκλασματική ανάλυση
  • Έρευνα και διάσωση[54]
  • Συμπίεση σήματος και εικόνας


  • Σχεδιασμός ηλεκτρονικών υπολογιστών και βιντεοπαιχνιδιών, ιδίως γραφικά υπολογιστών για οργανικά περιβάλλοντα και ως μέρος της διαδικαστικής δημιουργίας
  • Φρακτογραφία και μηχανική των θραυσμάτων
  • Φρακταλικές κεραίες - κεραίες μικρού μεγέθους με χρήση μορφοκλασματικών σχημάτων
  • Θεωρία σκέδασης μικρών γωνιών σε συστήματα με φράκταλ τραχύτητα
  • Μπλουζάκια και άλλα είδη μόδας
  • Παραγωγή μοτίβων για καμουφλάζ, όπως το MARPAT
  • Ψηφιακό ηλιακό ρολόι
  • Τεχνική ανάλυση σειρών τιμών (βλ. αρχή των κυμάτων Έλιοτ)
  • Μορφοκλασματική ανάλυση στη μουσική[69][70].
  • Μορφοκλασματικός λογισμός[12]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δημοσιεύσεις

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. ↑ 1,0 1,1 Gerges, Firas; Geng, Xiaolong; Nassif, Hani; Boufadel, Michel C. (2021). «Anisotropic Multifractal Scaling of Mount Lebanon Topography: Approximate Conditioning» (στα αγγλικά). Fractals 29 (5): 2150112–2153322. doi:10.1142/S0218348X21501127. ISSN 0218-348X. Bibcode: 2021Fract..2950112G. https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218348X21501127. 
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 Seuront, Laurent (12 Οκτωβρίου 2009). Fractals and Multifractals in Ecology and Aquatic Science. CRC Press. doi:10.1201/9781420004243. ISBN 9780849327827. 
  3. ↑ 3,0 3,1 Peters, Edgar (1996). Chaos and order in the capital markets: a new view of cycles, prices, and market volatility. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-13938-6. 
  4. ↑ Mulligan, R. (2004). «Fractal analysis of highly volatile markets: an application to technology equities». The Quarterly Review of Economics and Finance 44: 155–179. doi:10.1016/S1062-9769(03)00028-0. https://archive.org/details/sim_quarterly-review-of-economics-and-finance_2004-02_44_1/page/155. 
  5. ↑ Kamenshchikov, S. (2014). «Transport Catastrophe Analysis as an Alternative to a Monofractal Description: Theory and Application to Financial Crisis Time Series». Journal of Chaos 2014: 1–8. doi:10.1155/2014/346743. 
  6. ↑ Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A.; Eckberg, Dwain L.; Taylor, J. Andrew (2009). «Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications». The Journal of Physiology 587 (15): 3929–3941. doi:10.1113/jphysiol.2009.169219. PMID 19528254. 
  7. ↑ Zappasodi, Filippo; Olejarczyk, Elzbieta; Marzetti, Laura; Assenza, Giovanni (2014). «Fractal Dimension of EEG Activity Senses Neuronal Impairment in Acute Stroke». PLOS ONE 9 (6): 3929–3941. doi:10.1371/journal.pone.0100199. PMID 24967904. Bibcode: 2014PLoSO...9j0199Z. 
  8. ↑ Hisonothai, M.· Nakagawa, M. (2008). «EEG signal classification method based on fractal features and neural network». 2008 30th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. 2008. σελίδες 3880–3. doi:10.1109/IEMBS.2008.4650057. ISBN 978-1-4244-1814-5. 
  9. ↑ Fractal Analysis of Digital Images http://rsbweb.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/Fractals.htm Αρχειοθετήθηκε 2016-03-05 στο Wayback Machine.
  10. ↑ «Fractals: Complex Geometry, Patterns, and Scaling in Nature and Society». Fractals: An Interdiscipinary Journal on the Complex Geometry of Nature. ISSN 1793-6543. http://www.worldscinet.com/fractals/fractals.shtml. 
  11. ↑ 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 Benoît B. Mandelbrot (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. Ανακτήθηκε στις 1 Φεβρουαρίου 2012. 
  12. ↑ 12,0 12,1 Khalili Golmankhaneh, Alireza (2022). Fractal Calculus and its Applications. Singapore: World Scientific Pub Co Inc. σελ. 328. doi:10.1142/12988. ISBN 978-981-126-110-7. 
  13. ↑ 13,0 13,1 13,2 Mandelbrot, B. (1967-05-05). «How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension». Science 156 (3775): 636-638. doi:10.1126/science.156 .3775.636. ISSN 0036-8075. PMID 17837158. Bibcode: 1967Sci...156..636M. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2021-10-19. https://web.archive.org/web/20211019193011/http://ena.lp.edu.ua:8080/handle/ntb/52473. Ανακτήθηκε στις 2023-12-18. 
  14. ↑ 14,0 14,1 Goldberger, Ary L; Peng, C.-K; Lipsitz, Lewis A (January 2002). «What is physiologic complexity and how does it change with aging and disease?». Neurobiology of Aging 23 (1): 23–26. doi:10.1016/S0197-4580(01)00266-4. PMID 11755014. 
  15. ↑ «Digital Images in FracLac». ImageJ. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 20 Οκτωβρίου 2011. Ανακτήθηκε στις 8 Φεβρουαρίου 2012. 
  16. ↑ 16,0 16,1 MacIntosh, Andrew J. J.; Pelletier, Laure; Chiaradia, Andre; Kato, Akiko; Ropert-Coudert, Yan (December 2013). «Temporal fractals in seabird foraging behaviour: diving through the scales of time». Scientific Reports 3 (1): 1884. doi:10.1038/srep01884. ISSN 2045-2322. PMID 23703258. Bibcode: 2013NatSR...3E1884M. 
  17. ↑ Frontier, Serge (1987), «Applications of Fractal Theory to Ecology», Develoments in Numerical Ecology, Springer Berlin Heidelberg, σελ. 335–378, doi:10.1007/978-3-642-70880-0_9, ISBN 9783642708824 
  18. ↑ Scheuring, István; Riedi, Rudolf H. (August 1994). «Application of multifractals to the analysis of vegetation pattern». Journal of Vegetation Science 5 (4): 489–496. doi:10.2307/3235975. 
  19. ↑ Seuront, Laurent; Lagadeuc, Yvan (1998). «Spatio-temporal structure of tidally mixed coastal waters: variability and heterogeneity». Journal of Plankton Research 20 (7): 1387–1401. doi:10.1093/plankt/20.7.1387. ISSN 0142-7873. https://archive.org/details/sim_journal-of-plankton-research_1998-07_20_7/page/1387. 
  20. ↑ 20,0 20,1 20,2 Rutherford, Kenneth M.D.; Haskell, Marie J.; Glasbey, Chris; Jones, R.Bryan; Lawrence, Alistair B. (September 2003). «Detrended fluctuation analysis of behavioural responses to mild acute stressors in domestic hens». Applied Animal Behaviour Science 83 (2): 125–139. doi:10.1016/S0168-1591(03)00115-1. 
  21. ↑ Bradbury, Rh; Reichelt, Re (1983). «Fractal Dimension of a Coral Reef at Ecological Scales». Marine Ecology Progress Series 10: 169–171. doi:10.3354/meps010169. ISSN 0171-8630. Bibcode: 1983MEPS...10..169B. 
  22. ↑ Hastings, Harold M.; Pekelney, Richard; Monticciolo, Richard; Vun Kannon, David; Del Monte, Diane (January 1982). «Time scales, persistence and patchiness». Biosystems 15 (4): 281–289. doi:10.1016/0303-2647(82)90043-0. ISSN 0303-2647. PMID 7165795. 
  23. ↑ West, G. B. (1997-04-04). «A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology». Science 276 (5309): 122–126. doi:10.1126/science.276.5309.122. PMID 9082983. https://archive.org/details/sim_science_1997-04-04_276_5309/page/122. 
  24. ↑ West, G. B.; Enquist, B. J.; Brown, J. H. (2009-04-28). «A general quantitative theory of forest structure and dynamics». Proceedings of the National Academy of Sciences 106 (17): 7040–7045. doi:10.1073/pnas.0812294106. ISSN 0027-8424. PMID 19363160. Bibcode: 2009PNAS..106.7040W. 
  25. ↑ Rieu, Michel; Sposito, Garrison (1991). «Fractal Fragmentation, Soil Porosity, and Soil Water Properties: II. Applications». Soil Science Society of America Journal 55 (5): 1239. doi:10.2136/sssaj1991.03615995005500050007x. ISSN 0361-5995. Bibcode: 1991SSASJ..55.1239R. 
  26. ↑ Morse, D. R.; Lawton, J. H.; Dodson, M. M.; Williamson, M. H. (April 1985). «Fractal dimension of vegetation and the distribution of arthropod body lengths». Nature 314 (6013): 731–733. doi:10.1038/314731a0. ISSN 0028-0836. Bibcode: 1985Natur.314..731M. 
  27. ↑ Li, Xiaoyan; Passow, Uta; Logan, Bruce E (January 1998). «Fractal dimensions of small (15–200 μm) particles in Eastern Pacific coastal waters». Deep Sea Research Part I: Oceanographic Research Papers 45 (1): 115–131. doi:10.1016/s0967-0637(97)00058-7. ISSN 0967-0637. 
  28. ↑ Lovejoy, S.; Schertzer, D. (May 2006). «Multifractals, cloud radiances and rain». Journal of Hydrology 322 (1–4): 59–88. doi:10.1016/j.jhydrol.2005.02.042. Bibcode: 2006JHyd..322...59L. 
  29. ↑ Halley, J. M.; Hartley, S.; Kallimanis, A. S.; Kunin, W. E.; Lennon, J. J.; Sgardelis, S. P. (2004-02-24). «Uses and abuses of fractal methodology in ecology». Ecology Letters 7 (3): 254–271. doi:10.1111/j.1461-0248.2004.00568.x. ISSN 1461-023X. 
  30. ↑ Bryce, R. M.; Sprague, K. B. (December 2012). «Revisiting detrended fluctuation analysis». Scientific Reports 2 (1): 315. doi:10.1038/srep00315. ISSN 2045-2322. PMID 22419991. Bibcode: 2012NatSR...2E.315B. 
  31. ↑ Catalan, Jordi; Marrasé, Cèlia; Pueyo, Salvador; Peters, Francesc; Bartumeus, Frederic (2003-10-28). «Helical Lévy walks: Adjusting searching statistics to resource availability in microzooplankton». Proceedings of the National Academy of Sciences 100 (22): 12771–12775. doi:10.1073/pnas.2137243100. ISSN 0027-8424. PMID 14566048. Bibcode: 2003PNAS..10012771B. 
  32. ↑ Garcia, F.; Carrère, P.; Soussana, J.F.; Baumont, R. (September 2005). «Characterisation by fractal analysis of foraging paths of ewes grazing heterogeneous swards». Applied Animal Behaviour Science 93 (1–2): 19–37. doi:10.1016/j.applanim.2005.01.001. 
  33. ↑ Humphries, N. E.; Weimerskirch, H.; Queiroz, N.; Southall, E. J.; Sims, D. W. (2012-05-08). «Foraging success of biological Levy flights recorded in situ». Proceedings of the National Academy of Sciences 109 (19): 7169–7174. doi:10.1073/pnas.1121201109. ISSN 0027-8424. PMID 22529349. Bibcode: 2012PNAS..109.7169H. 
  34. ↑ Raposo, E P; Buldyrev, S V; da Luz, M G E; Viswanathan, G M; Stanley, H E (2009-10-30). «Lévy flights and random searches». Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 42 (43): 434003. doi:10.1088/1751-8113/42/43/434003. ISSN 1751-8113. Bibcode: 2009JPhA...42Q4003R. 
  35. ↑ Viswanathan, G.M; Afanasyev, V; Buldyrev, Sergey V; Havlin, Shlomo; da Luz, M.G.E; Raposo, E.P; Stanley, H.Eugene (June 2001). «Lévy flights search patterns of biological organisms». Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 295 (1–2): 85–88. doi:10.1016/S0378-4371(01)00057-7. Bibcode: 2001PhyA..295...85V. 
  36. ↑ 36,0 36,1 MacIntosh, Andrew James Jonathan (2014). «The Fractal Primate». Primate Research 30 (1): 95–119. doi:10.2354/psj.30.011. ISSN 1880-2117. 
  37. ↑ 37,0 37,1 Burgunder, Jade; Petrželková, Klára J.; Modrý, David; Kato, Akiko; MacIntosh, Andrew J.J. (August 2018). «Fractal measures in activity patterns: Do gastrointestinal parasites affect the complexity of sheep behaviour?». Applied Animal Behaviour Science 205: 44–53. doi:10.1016/j.applanim.2018.05.014. 
  38. ↑ 38,0 38,1 MacIntosh, A. J. J.; Alados, C. L.; Huffman, M. A. (2011-10-07). «Fractal analysis of behaviour in a wild primate: behavioural complexity in health and disease». Journal of the Royal Society Interface 8 (63): 1497–1509. doi:10.1098/rsif.2011.0049. ISSN 1742-5689. PMID 21429908. 
  39. ↑ Cribb, Nardi; Seuront, Laurent (September 2016). «Changes in the behavioural complexity of bottlenose dolphins along a gradient of anthropogenically-impacted environments in South Australian coastal waters: Implications for conservation and management strategies». Journal of Experimental Marine Biology and Ecology 482: 118–127. doi:10.1016/j.jembe.2016.03.020. ISSN 0022-0981. 
  40. ↑ Bradbury, J. W.; Vehrencamp, S. L. (2014-05-01). «Complexity and behavioral ecology». Behavioral Ecology 25 (3): 435–442. doi:10.1093/beheco/aru014. ISSN 1045-2249. 
  41. ↑ Alados, C.L.; Escos, J.M.; Emlen, J.M. (February 1996). «Fractal structure of sequential behaviour patterns: an indicator of stress». Animal Behaviour 51 (2): 437–443. doi:10.1006/anbe.1996.0040. 
  42. ↑ Rutherford, K. M. D.; Haskell, M. J.; Glasbey, C.; Jones, R. B.; Lawrence, A. B. (February 2004). «Fractal analysis of animal behaviour as an indicator of animal welfare». Animal Welfare 13 (1): 99–103. doi:10.1017/S0962728600014433. https://www.ingentaconnect.com/contentone/ufaw/aw/2004/00000013/a00101s1/art00014. Ανακτήθηκε στις 2019-03-27. 
  43. ↑ «Applications». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 12 Οκτωβρίου 2007. Ανακτήθηκε στις 21 Οκτωβρίου 2007. 
  44. ↑ Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A.; Eckberg, Dwain L.; Taylor, J. Andrew (2009). «Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications». The Journal of Physiology 587 (15): 3929–3941. doi:10.1113/jphysiol.2009.169219. PMID 19528254. 
  45. ↑ Costa, Isis da Silva; Gamundí, Antoni; Miranda, José G. Vivas; França, Lucas G. Souza; Santana, De; Novaes, Charles; Montoya, Pedro (2017). «Altered Functional Performance in Patients with Fibromyalgia» (στα αγγλικά). Frontiers in Human Neuroscience 11: 14. doi:10.3389/fnhum.2017.00014. ISSN 1662-5161. PMID 28184193. 
  46. ↑ França, L. G. S.; Montoya, Pedro; Miranda, J. G. V. (2017). «On multifractals: a non-linear study of actigraphy data». Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 514: 612–619. doi:10.1016/j.physa.2018.09.122. 
  47. ↑ 47,0 47,1 Karperien, Audrey; Jelinek, Herbert F.; Leandro, Jorge de Jesus Gomes; Soares, João V. B.; Cesar Jr, Roberto M.; Luckie, Alan (2008). «Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice». Clinical Ophthalmology 2 (1): 109–122. doi:10.2147/OPTH.S1579. PMID 19668394. 
  48. ↑ Kam, Y.; Karperien, A.; Weidow, B.; Estrada, L.; Anderson, A. R.; Quaranta, V. (2009). «Nest expansion assay: A cancer systems biology approach to in vitro invasion measurements». BMC Research Notes 2: 130. doi:10.1186/1756-0500-2-130. PMID 19594934. 
  49. ↑ Xiao, Xiongye; Chen, Hanlong; Bogdan, Paul (25 November 2021). «Deciphering the generating rules and functionalities of complex networks». Scientific Reports 11 (1): 22964. doi:10.1038/s41598-021-02203-4. PMID 34824290. Bibcode: 2021NatSR..1122964X. 
  50. ↑ Losa, Gabriele A.· Nonnenmacher, Theo F., επιμ. (2005). Fractals in biology and medicine. Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2. Ανακτήθηκε στις 1 Φεβρουαρίου 2012. 
  51. ↑ Mandelbrot, B. (1967). «How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension». Science 156 (3775): 636–638. doi:10.1126/science.156.3775.636. PMID 17837158. Bibcode: 1967Sci...156..636M. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2021-10-19. https://web.archive.org/web/20211019193011/http://ena.lp.edu.ua:8080/handle/ntb/52473. Ανακτήθηκε στις 2023-12-18. 
  52. ↑ Li, H. (2013). «Fractal analysis of side channels for breakdown structures in XLPE cable insulation». J Mater Sci: Mater Electron 24 (5): 1640–1643. doi:10.1007/s10854-012-0988-y. 
  53. ↑ Reuveni, Shlomi; Granek, Rony; Klafter, Joseph (2008). «Proteins: Coexistence of Stability and Flexibility». Physical Review Letters 100 (20): 208101. doi:10.1103/PhysRevLett.100.208101. ISSN 0031-9007. PMID 18518581. Bibcode: 2008PhRvL.100t8101R. 
  54. ↑ Panteha Saeedi, and Soren A. Sorensen (2009). An Algorithmic Approach to Generate After-disaster Test Fields for Search and Rescue Agents (PDF). Proceedings of the World Congress on Engineering 2009. σελίδες 93–98. ISBN 978-988-17-0125-1. 
  55. ↑ 55,0 55,1 Chen, Yanguang (2011). «Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions». PLOS ONE 6 (9): e24791. doi:10.1371/journal.pone.0024791. PMID 21949753. Bibcode: 2011PLoSO...624791C. 
  56. ↑ Karperien, Audrey L.; Jelinek, Herbert F.; Buchan, Alastair M. (2008). «Box-Counting Analysis of Microglia Form in Schizophrenia, Alzheimer's Disease and Affective Disorder». Fractals 16 (2): 103–107. doi:10.1142/S0218348X08003880. 
  57. ↑ França, Lucas G. Souza; Miranda, José G. Vivas; Leite, Marco; Sharma, Niraj K.; Walker, Matthew C.; Lemieux, Louis; Wang, Yujiang (2018). «Fractal and Multifractal Properties of Electrographic Recordings of Human Brain Activity: Toward Its Use as a Signal Feature for Machine Learning in Clinical Applications» (στα αγγλικά). Frontiers in Physiology 9: 1767. doi:10.3389/fphys.2018.01767. ISSN 1664-042X. PMID 30618789. Bibcode: 2018arXiv180603889F. 
  58. ↑ Liu, Jing Z.; Zhang, Lu D.; Yue, Guang H. (2003). «Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging». Biophysical Journal 85 (6): 4041–4046. doi:10.1016/S0006-3495(03)74817-6. PMID 14645092. PMC 1303704. Bibcode: 2003BpJ....85.4041L. https://archive.org/details/sim_biophysical-journal_2003-12_85_6/page/4041. 
  59. ↑ Nikolić, D.; Moca, V.V.; Singer, W.; Mureşan, R.C. (2008). «Properties of multivariate data investigated by fractal dimensionality». Journal of Neuroscience Methods 172 (1): 27–33. doi:10.1016/j.jneumeth.2008.04.007. PMID 18495248. 
  60. ↑ Smith, Robert F.; Mohr, David N.; Torres, Vicente E.; Offord, Kenneth P.; Melton III, L. Joseph (1989). «Renal insufficiency in community patients with mild asymptomatic microhematuria». Mayo Clinic Proceedings 64 (4): 409–414. doi:10.1016/s0025-6196(12)65730-9. PMID 2716356. https://archive.org/details/sim_mayo-clinic-proceedings_1989-04_64_4/page/409. 
  61. ↑ Al-Kadi O.S, Watson D. (2008). «Texture Analysis of Aggressive and non-Aggressive Lung Tumor CE CT Images». IEEE Transactions on Biomedical Engineering 55 (7): 1822–1830. doi:10.1109/tbme.2008.919735. PMID 18595800. http://sro.sussex.ac.uk/1919/1/tbme.pdf. Ανακτήθηκε στις 2014-04-10. 
  62. ↑ Landini, Gabriel (2011). «Fractals in microscopy». Journal of Microscopy 241 (1): 1–8. doi:10.1111/j.1365-2818.2010.03454.x. PMID 21118245. 
  63. ↑ Cheng, Qiuming (1997). «Multifractal Modeling and Lacunarity Analysis». Mathematical Geology 29 (7): 919–932. doi:10.1023/A:1022355723781. 
  64. ↑ Burkle-Elizondo, Gerardo; Valdéz-Cepeda, Ricardo David (2006). «Fractal analysis of Mesoamerican pyramids». Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences 10 (1): 105–122. PMID 16393505. 
  65. ↑ Brown, Clifford T.; Witschey, Walter R. T.; Liebovitch, Larry S. (2005). «The Broken Past: Fractals in Archaeology». Journal of Archaeological Method and Theory 12: 37–78. doi:10.1007/s10816-005-2396-6. 
  66. ↑ Vannucchi, Paola; Leoni, Lorenzo (2007). «Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing». Earth and Planetary Science Letters 262 (3–4): 413–428. doi:10.1016/j.epsl.2007.07.056. Bibcode: 2007E&PSL.262..413V. 
  67. ↑ Didier Sornette (2004). Critical phenomena in natural sciences: chaos, fractals, self-organization, and disorder: concepts and tools. Springer. σελίδες 128–140. ISBN 978-3-540-40754-6. 
  68. ↑ Hu, Shougeng; Cheng, Qiuming; Wang, Le; Xie, Shuyun (2012). «Multifractal characterization of urban residential land price in space and time». Applied Geography 34: 161–170. doi:10.1016/j.apgeog.2011.10.016. 
  69. ↑ Brothers, Harlan J. (2007). «Structural Scaling in Bach's Cello Suite No. 3». Fractals 15: 89–95. doi:10.1142/S0218348X0700337X. 
  70. ↑ Brothers, Harlan J. (2009). «Intervallic Scaling In The Bach Cello Suites». Fractals 17 (4): 537–545. doi:10.1142/S0218348X09004521.