Φιλικός αριθμός

Στη θεωρία αριθμών, οι φιλικοί αριθμοί είναι δύο ή περισσότεροι φυσικοί αριθμοί με κοινό δείκτη αφθονίας, δηλαδή την αναλογία μεταξύ του αθροίσματος των διαιρετών ενός αριθμού και του ίδιου του αριθμού. Δύο αριθμοί με την ίδια "αφθονία" σχηματίζουν ένα φιλικό ζευγάρι, ενώ ν αριθμοί με την ίδια "αφθονία" σχηματίζουν ένα φιλικό ν-δίδυμο.

Το να είναι κάποιος αριθμός αμοιβαία φιλικός είναι μια σχέση ισοδυναμίας και έτσι προκαλεί έναν διαμερισμό των θετικών φυσικών αριθμών σε "κλαμπ" (τάξεις ισοδυναμίας) αμοιβαία «φιλικών αριθμών».

Ένας αριθμός που δεν ανήκει σε κανένα φιλικό ζευγάρι ονομάζεται μοναχικός.

Ο δείκτης "αφθονίας" του ν είναι ο ρητός αριθμός σ(ν) / ν, στον οποίο το σ υποδηλώνει το άθροισμα της συνάρτησης των διαιρετών. Ένας αριθμός ν είναι ένας "φιλικός αριθμός" εάν υπάρχει μ ≠ ν τέτοιο ώστε σ(μ) / μ = σ(ν) / ν. "Αφθονία" δεν είναι το ίδιο με την αφθονία των υπερτέλειων αριθμών, η οποία ορίζεται ως σ(ν) − 2ν.

Η "αφθονία" μπορεί επίσης να εκφραστεί ως ${\displaystyle \sigma _{-1}(\nu )}$, όπου το ${\displaystyle \sigma _{\kappa }}$ δηλώνει συνάρτηση διαιρέτη με ${\displaystyle \sigma _{\kappa }(\nu )}$ ίσο με το άθροισμα των κ δυνάμεων των διαιρετών του ν.

Οι αριθμοί 1 έως 5 είναι όλοι μοναχικοί. Ο μικρότερος φιλικός αριθμός είναι το 6, σχηματίζοντας για παράδειγμα, το φιλικό ζευγάρι 6 και 28 με "αφθονία" σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2, το ίδιο με το σ(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2. Η κοινή τιμή 2 είναι ακέραιος σε αυτήν την περίπτωση αλλά όχι σε πολλές άλλες περιπτώσεις. Οι αριθμοί με "αφθονία" 2 είναι επίσης γνωστοί ως τέλειοι αριθμοί. Υπάρχουν αρκετά άλυτα προβλήματα που σχετίζονται με τους «φιλικούς αριθμούς».

Παρά την ομοιότητα στο όνομα, δεν υπάρχει κάποια συγκεκριμένη σχέση μεταξύ των φιλικών αριθμών και των κοινωνικών αριθμών, αν και οι ορισμοί τους περιλαμβάνουν επίσης τη συνάρτηση διαιρέτη.

Παραδείγματα

Ως άλλο παράδειγμα, οι αριθμοί 30 και 140 αποτελούν ένα φιλικό ζευγάρι, επειδή το 30 και το 140 έχουν την ίδια «αφθονία»:

${\displaystyle {\tfrac {\sigma (30)}{30}}={\tfrac {1+2+3+5+6+10+15+30}{30}}={\tfrac {72}{30}}={\tfrac {12}{5}}}$

${\displaystyle {\tfrac {\sigma (140)}{140}}={\tfrac {1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140}}={\tfrac {336}{140}}={\tfrac {12}{5}}.}$

Οι αριθμοί 2.480, 6.200 και 40.640 είναι επίσης μέλη αυτού του "κλαμπ", καθώς ο καθένας τους έχει «αφθονία» ίση με 12/5.

Ένα παράδειγμα περιττών αριθμών που να είναι φιλικοί είναι οι αριθμοί 135 και 819 ("αφθονία" 16/9). Υπάρχουν επίσης περιπτώσεις που ένας άρτιος αριθμός είναι φιλικός προς έναν περιττό, όπως το 42 και το 544.635 («αφθονία» 16/7). Ο περιττός "φίλος" μπορεί να είναι μικρότερος από τον άρτιο, όπως στην περίπτωση του 84.729.645 και του 155.315.394 ("αφθονία" 896/351).

Ένας τετραγωνικός αριθμός μπορεί να είναι φιλικός, για παράδειγμα τόσο το 693.479.556 (το τετράγωνο του 26.334) όσο και το 8.640 έχουν "αφθονία" 127/36 (αυτό το παράδειγμα είναι διαπιστευμένο από τον Ντιν Χίκερσον).

Μοναχικοί αριθμοί

Ένας αριθμός που ανήκει σε μια απλή λέσχη, επειδή κανένας άλλος αριθμός δεν είναι «φιλικός» με αυτόν, είναι ένας μοναχικός αριθμός. Όλοι οι πρώτοι αριθμοί είναι γνωστοί ως μοναχικοί, όπως και οι δυνάμεις των πρώτων αριθμών. Γενικότερα, εάν οι αριθμοί ν και σ(ν) είναι σχετικά πρώτοι – δηλαδή αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών είναι 1, έτσι ώστε το σ(ν)/ν να είναι ένα αμετάκλητο κλάσμα – τότε ο αριθμός ν είναι μοναχικός (ακολουθία A014567 στην OEIS). Για έναν πρώτο αριθμό p έχουμε σ(p) = p + 1, ο οποίος είναι σχετικά πρώτος με το p.

Καμία γενική μέθοδος δεν είναι γνωστή για τον προσδιορισμό του εάν ένας αριθμός είναι φιλικός ή μοναχικός. Ο μικρότερος αριθμός του οποίου η ταξινόμηση είναι άγνωστη είναι το 10, το οποίο εικάζεται ότι είναι μοναχικός. Αν δεν είναι, ο μικρότερος φίλος του είναι τουλάχιστον ${\displaystyle 10^{30}}$.^[1][2] Μικροί αριθμοί με σχετικά μεγάλο μικρότερο φίλο υπάρχουν: για παράδειγμα, το 24 είναι "φιλικό", με τον μικρότερο φίλο του 91.963.648.^[1][2]

Μεγάλα κλαμπ

Είναι ανοιχτό το πρόβλημα αν υπάρχουν άπειρα μεγάλα κλαμπ αμοιβαία "φιλικών" αριθμών. Οι τέλειοι αριθμοί σχηματίζουν ένα κλαμπ και υποτίθεται ότι υπάρχουν απείρως πολλοί τέλειοι αριθμοί (τουλάχιστον τόσοι όσοι είναι οι πρώτοι Μερσέν), αλλά καμία απόδειξη δεν είναι γνωστή. Ως το Δεκέμβριο του 2018, είναι γνωστοί 51 τέλειοι αριθμοί, ο μεγαλύτερος από τους οποίους έχει περισσότερα από 49 εκατομμύρια ψηφία με δεκαδικούς συμβολισμούς. Υπάρχουν κλαμπ με πιο γνωστά μέλη: συγκεκριμένα, αυτά που σχηματίζονται πολλαπλασιάζοντας τέλειους αριθμούς, οι οποίοι είναι αριθμοί των οποίων η «αφθονία» είναι ένας ακέραιος αριθμός. Από τις αρχές του 2013, η λέσχη φιλικών αριθμών με «αφθονία» ίση με 9 έχει 2.094 γνωστά μέλη.^[3] Αν και είναι γνωστό ότι ορισμένοι είναι αρκετά μεγάλοι, τα κλαμπ που πολλαπλασιάζουν τέλειους αριθμούς (εξαιρουμένων των ίδιων των τέλειων αριθμών) υποτίθεται ότι είναι πεπερασμένα.

Ασυμπτωτική πυκνότητα

Κάθε ζεύγος α, β φιλικών αριθμών δημιουργεί μια θετική αναλογία όλων των φυσικών αριθμών που είναι φιλικοί (αλλά σε διαφορετικά κλαμπ), λαμβάνοντας υπόψη τα ζεύγη να, νβ για αριθμούς ν με ΜΚΔ (ν, αβ) = 1. Για παράδειγμα, το "πρωτόγονο" φιλικό ζευγάρι 6 και 28 δημιουργεί φιλικά ζευγάρια 6ν και 28ν για όλα τα ν που είναι αντίστοιχα με 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, ή 41 modulo 42.^[4]

Αυτό δείχνει ότι η φυσική πυκνότητα των φιλικών αριθμών (εάν υπάρχει) είναι θετική.

Οι Anderson και Hickerson πρότειναν ότι η πυκνότητα πρέπει να είναι στην πραγματικότητα 1 (ή ισοδύναμα ότι η πυκνότητα των μοναχικών αριθμών πρέπει να είναι 0).^[4] Σύμφωνα με το άρθρο του MathWorld για τον Μοναχικό Αριθμό (βλέπε ενότητα Βιβλιογραφικές αναφορές παρακάτω), αυτή η εικασία δεν έχει επιλυθεί, αν και ο Pomerance πίστευε ότι κάποια στιγμή την είχε διαψεύσει.

Σημειώσεις

1. Cemra, Jason. «10 Solitary Check». Github/CemraJC/Solidarity. 
2. «OEIS sequence A074902». OEIS sequence A074902. 
3. Flammenkamp, Achim. «The Multiply Perfect Numbers Page». Ανακτήθηκε στις 20 Απριλίου 2008. 
4. Anderson, C. W.; Hickerson, Dean; Greening, M. G. (1977). «6020». The American Mathematical Monthly 84 (1): 65–66. doi:10.2307/2318325. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1977-01_84_1/page/65. 

Bιβλιογραφικές αναφορές

• Weisstein, Eric W., "Friendly Number" από το MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Friendly Pair" από το MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Solitary Number" από το MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Abundancy" από το MathWorld.