Ανισότητα Νέσμπιττ

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Νέσμπιττ (αναφέρεται και ως ανισότητα Nesbitt) αφορά οποιουσδήποτε τρεις θετικούς πραγματικούς αριθμούς ${\displaystyle a,b,c}$ και λέει ότι^{[1][2]:117-118[3]:84[4]}

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.}$

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν ${\displaystyle a=b=c}$.

Αποδείξεις

Η ανισότητα αυτή είναι γνωστή για τους πολλούς τρόπους με τους οποίους μπορεί να αποδειχθεί.^[5][6]:21

Με ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου

Θεωρούμε ${\displaystyle x=b+c}$, ${\displaystyle y=a+c}$ και ${\displaystyle z=a+b}$. Τότε, έχουμε ότι ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}\cdot (y+z-x)}$, ${\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}\cdot (x+z-y)}$, και ${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}\cdot (x+y-z)}$. Επομένως, η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως εξής: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {y+z-x}{x}}+{\frac {x+z-y}{y}}+{\frac {x+y-z}{z}}\right)\geq {\frac {3}{2}}.}$ Αναδιατάσσοντας τους όρους, έχουμε την ισοδύναμη ανισότητα ${\displaystyle {\frac {y}{x}}+{\frac {z}{x}}-1+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}-1+{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{z}}-1\geq 3,}$ η οποία είναι ισοδύναμη με την ${\displaystyle {\frac {y}{x}}+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {y}{z}}+{\frac {z}{x}}+{\frac {x}{z}}\geq 6.}$ Η ανισότητα αυτή προκύπτει από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για ${\displaystyle 6}$ όρους, ${\displaystyle {\frac {y}{x}}+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {y}{z}}+{\frac {z}{x}}+{\frac {x}{z}}\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {y}{x}}\cdot {\frac {x}{y}}\cdot {\frac {z}{y}}\cdot {\frac {y}{z}}\cdot {\frac {z}{x}}\cdot {\frac {x}{z}}}}=6}$. Επίσης, προκύπτει και την σχετικά πιο απλή ειδική περίπτωση της ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για ${\displaystyle 2}$ όρους ${\displaystyle u+{\frac {1}{u}}\geq 2\Leftrightarrow u^{2}-2u+1\geq 0\Leftrightarrow (u-1)^{2}\geq 0,}$ για οποιοδήποτε ${\displaystyle u>0}$. Και από τις δύο αυτές ανισότητες λαμβάνουμε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν ${\displaystyle x=y=z}$, που είναι ισοδύναμο με ${\displaystyle a=b=c}$.

Με ανισότητα Γένσεν

Έστω ${\displaystyle S=a+b+c}$ το άθροισμα των τριών αριθμών. Τότε η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως ${\displaystyle {\frac {a}{S-a}}+{\frac {b}{S-b}}+{\frac {c}{S-c}}\geq {\frac {3}{2}}.}$ Θεωρούμε την συνάρτηση ${\displaystyle f:(0,S)\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{S-x}}.}$ Η ${\displaystyle f}$ είναι κυρτή στο διάστημα ${\displaystyle (0,S)}$ καθώς ${\displaystyle f'(x)={\frac {S}{(S-x)^{2}}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad f''(x)={\frac {2S}{(S-x)^{3}}}\geq 0}$ για κάθε ${\displaystyle x\in (0,S)}$. Επομένως, εφαρμόζοντας την ανισότητα Γένσεν για την ${\displaystyle f}$ και τους ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle f(a)+f(b)+f(c)\geq 3\cdot f\left({\frac {a+b+c}{3}}\right),}$ η οποία είναι ισοδύναμη με ${\displaystyle {\frac {a}{S-a}}+{\frac {b}{S-b}}+{\frac {c}{S-c}}\geq 3\cdot {\frac {S/3}{S-S/3}}={\frac {3}{2}}.}$ Από την ανισότητα Γένσεν, προκύπτει η ισότητα αν και μόνο αν ${\displaystyle a=b=c}$.

Με ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς

Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής μορφή της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς, ${\displaystyle \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)\cdot \left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)\geq \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\right)^{2}}$ Επιστρέφοντας στην ανισότητα Νέσμπιττ, προσθέτουμε ${\displaystyle 3}$ και στα δύο μέλη της ανισότητας, λαμβάνοντας την ισοδύναμη ${\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {b+a+c}{a+c}}+{\frac {c+a+b}{a+b}}\geq {\frac {9}{2}}.}$ Παραγοντοποιώντας το αριστερό μέλος, λαμβάνουμε ${\displaystyle \left(a+b+c\right)\cdot \left({\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{a+b}}\right)\geq {\frac {9}{2}},}$ που είναι επίσης ισοδύναμη με ${\displaystyle \left((a+b)+(b+c)+(a+c)\right)\cdot \left({\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}\right)\geq 9,}$ (1) Θέτοντας ${\displaystyle x_{1}={\sqrt {a+b}}}$, ${\displaystyle x_{2}={\sqrt {b+c}}}$, ${\displaystyle x_{3}={\sqrt {a+c}}}$ και ${\displaystyle y_{1}=1/{\sqrt {b+c}}}$, ${\displaystyle x_{2}=1/{\sqrt {a+b}}}$, ${\displaystyle x_{3}=1/{\sqrt {a+c}}}$ στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, αποδεικνύουμε αυτή την ανισότητα. ${\displaystyle \left(\left({\sqrt {a+b}}\right)^{2}+\left({\sqrt {b+c}}\right)^{2}+\left({\sqrt {a+c}}\right)^{2}\right)\cdot \left(\left({\frac {1}{\sqrt {a+b}}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\sqrt {b+c}}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\sqrt {a+c}}}\right)^{2}\right)\geq \left(1+1+1\right)^{2}=9.}$

Με ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου

Στην προηγούμενη απόδειξη μπορούμε να αποδείξουμε την (1) χρησιμοποιώντας την ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου για τους αριθμούς ${\displaystyle x=a+b}$, ${\displaystyle y=b+c}$ και ${\displaystyle z=c+a}$. Συγκεκριμένα, λαμβάνουμε ${\displaystyle {\frac {(a+b)+(b+c)+(c+a)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{c+a}}}}.}$ Αναδιατάσσοντας τους όρους, καθώς είναι θετικοί, λαμβάνουμε ${\displaystyle \left((a+b)+(b+c)+(c+a)\right)\cdot \left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{c+a}}\right)\geq 9,}$ η οποία είναι ισοδύναμη της ανισότητας Νέσμπιττ.

Με ανισότητα της αναδιάταξης

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, αφού η ανισότητα είναι συμμετρική ως προς τα ${\displaystyle a,b,c}$ μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ${\displaystyle a\geq b\geq c}$, και επομένως έχουμε ότι ${\displaystyle a+b\geq a+c\geq b+c}$ και ότι ${\displaystyle {\frac {1}{b+c}}\geq {\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {1}{a+b}}.}$ Επομένως από την ανισότητα της αναδιάταξης έχουμε ότι ${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {b}{b+c}}+{\frac {c}{a+c}}+{\frac {a}{a+b}},}$ και ${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {c}{b+c}}+{\frac {a}{a+c}}+{\frac {b}{a+b}}.}$ Αθροίζοντας της δύο ανισότητες, λαμβάνουμε ${\displaystyle 2\cdot \left({\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\right)\geq {\frac {b+c}{b+c}}+{\frac {a+c}{a+c}}+{\frac {a+b}{a+b}}=3.}$ Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε την ανισότητα Νέσμπιττ.

Ιστορία

Η ανισότητα αυτή πήρε το όνομα της από τον Μ. Α. Νέσμπιττ που τη δημοσίευσε ως πρόβλημα στο περιοδικό Educational Times το 1902.^[1]

Η ανισότητα Νέσμπιττ είναι μία ειδική περίπτωση της ανισότητας Σαπίρο, η οποία μελετάει κάτω φράγματα για το εξής κυκλικό άθροισμα ${\displaystyle n}$ αριθμών ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ^[7]:440-443

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+\ldots +{\frac {x_{n}}{x_{1}+x_{2}}}.}$

Παραπομπές

1. Nesbitt, A. M. (1902). «Problem 15114». Educational Times 55. https://archive.org/details/educationaltimes55educ/page/232/mode/2up. 
2. Venkatachala, B. J. (2018). Inequalities : an approach through problems (Second έκδοση). Singapore. ISBN 9789811087325. 
3. Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz master class : an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge, UK. ISBN 9780511817106. 
4. Στεργίου,, Χ.· Σκομπρης, Ν. (2005). Αλγεβρικές Ανισότητες. Σαββάλας. ISBN 9789604235582. 
5. Ψύχας, Βαγγέλης. «Ανισότητες Ι: Βασικές Ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022. 
6. Στεργίου, Μπάμπης. «Μαθηματικοί Διαγωνισμοί: Εισαγωγή στις ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022. 
7. Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). Classical and new inequalities in analysis. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7.