Ανισότητα Πέιλι-Ζίγκμουντ

Στην θεωρία πιθανοτήτων η ανισότητα Πέιλι-Ζίγκμουντ (αναφέρεται και ως ανισότητα Paley-Zygmund) λέει ότι για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή ${\displaystyle X\geq 0}$ και για οποιοδήποτε ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ έχουμε ότι

${\displaystyle \operatorname {P} (X>\theta \cdot \operatorname {E} [X])\geq (1-\theta )^{2}\cdot {\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\operatorname {E} [X^{2}]}}.}$

Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Ρέιμοντ Πέιλι και τον Αντόνι Ζίγκμουντ που δημοσίευσαν την ανισότητα το 1932.^[1][2]

Απόδειξη

Για τις δείκτριες τυχαίες μεταβλητές ${\displaystyle \mathbf {1} _{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}}$ και ${\displaystyle \mathbf {1} _{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}}$, έχουμε ότι

${\displaystyle \mathbf {1} _{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}+\mathbf {1} _{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}=1}$.

Επομένως, γράφουμε την αναμενόμενη τιμή του ${\displaystyle X}$ ως

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X\cdot \mathbf {1} _{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}]+\operatorname {E} [X\cdot \mathbf {1} _{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}]}$.

Για τον πρώτο όρο, έχουμε από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς ότι

${\displaystyle \operatorname {E} [X\cdot \mathbf {1} _{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}]\leq (\operatorname {E} [X^{2}])^{1/2}\cdot (\operatorname {E} [\mathbf {1} _{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}])^{1/2}=(\operatorname {E} [X^{2}])^{1/2}\cdot (\operatorname {P} (X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]))^{1/2},}$

(1)

Για τον δεύτερο όρο, έχουμε ότι ${\displaystyle X\cdot \mathbf {1} _{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}$ και επομένως,

${\displaystyle \operatorname {E} [X\cdot \mathbf {1} _{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}]\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X].}$

(2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι

${\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq (\operatorname {E} [X^{2}])^{1/2}\cdot (\operatorname {P} (X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]))^{1/2}+\theta \cdot \operatorname {E} [X]}$,

αναδιατάσσοντας την οποία λαμβάνουμε τη ζητούμενη ανισότητα.

Επεκτάσεις

Διάφορες επεκτάσεις έχουν προταθεί στην βιβλιογραφία.^[3][4][5]

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Τσουνγκ-Έρντος
• Μέθοδος δεύτερης ροπής

Παραπομπές

1. Paley, R. E. a. C.; Zygmund, A. (Ιουλίου 1932). «A note on analytic functions in the unit circle». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 28 (3): 266–272. doi:https://doi.org/10.1017/S0305004100010112. 
2. Paley, R. E. a. C.; Zygmund, A. (Απριλίου 1932). «On some series of functions, (3)». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 28 (2): 190–205. doi:https://doi.org/10.1017/S0305004100010860. 
3. Petrov, Valentin V. (1 Αυγούστου 2007). «On lower bounds for tail probabilities». Journal of Statistical Planning and Inference 137 (8): 2703–2705. doi:https://doi.org/10.1016/j.jspi.2006.02.015. 
4. Bakas, Odysseas (1 Ιουνίου 2019). «Variants of the Inequalities of Paley and Zygmund». Journal of Fourier Analysis and Applications 25 (3): 1113–1133. doi:https://doi.org/10.1007/s00041-018-9605-7. 
5. Chatterjee, Sourav (Ιουλίου 2019). «A general method for lower bounds on fluctuations of random variables». The Annals of Probability 47 (4): 2140–2171. doi:https://doi.org/10.1214/18-AOP1304.