Ανισότητα Ποποβίτσιου για τη Διακύμανση

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Ποποβίτσιου (αναφέρεται και ως ανισότητα Popoviciu) αφορά μία οποιαδήποτε πραγματική τυχαία μεταβλητή ${\displaystyle X}$ η οποία λαμβάνει τιμές στο διάστημα ${\displaystyle [m,M]}$, και λέει ότι η διακύμανσή της ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$ φράζεται ως^[1]

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\leq \left({\frac {M-m}{2}}\right)^{2}}$.

Απόδειξη

Έστω ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$ η αναμενόμενη τιμή της ${\displaystyle X}$. Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή ${\displaystyle X'=X-\mu }$ η οποία έχει ${\displaystyle \operatorname {E} (X')=0}$ και ${\displaystyle \operatorname {Var} (X')=\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X')^{2})}$.

Επίσης, ισχύει ότι η ${\displaystyle X'}$ είναι φραγμένη ως εξής ${\displaystyle m'=m-\mu \leq X'\leq M-\mu =M'}$. Επομένως, ${\displaystyle X'-m'\geq 0}$ και ${\displaystyle M-X'\geq 0}$ και συνεπώς

${\displaystyle 0\leq \operatorname {E} ((M'-X')\cdot (X'-m'))}$.

Επεκτείνοντας το δεξί μέλος, από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι

${\displaystyle 0\leq -M'm'+\operatorname {E} (X')\cdot (M'-m')-\operatorname {E} ((X')^{2})=-M'm'-\operatorname {E} ((X')^{2})}$.

Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {Var} (X')=\operatorname {E} ((X')^{2})\leq -M'm'}$.

(1)

Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για δύο μεταβλητές ${\displaystyle a,b}$ δίνει ότι

${\displaystyle ab\leq \left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}$.

Για ${\displaystyle a=M'=M-\mu }$ και ${\displaystyle b=-m'=-(m-\mu )}$, λαμβάνουμε ότι

${\displaystyle -M'm'\leq \left({\frac {M-\mu -(m-\mu )}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {M-m}{2}}\right)^{2}}$.

Συνδυάζοντας με την (1), έχουμε την ζητούμενη ανισότητα

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\leq \left({\frac {M-m}{2}}\right)^{2}}$.

Ισότητα

Η ανισότητα ισχύει για ισότητα όταν ${\displaystyle \Pr(X=M)=\Pr(X=m)=1/2}$.

Απόδειξη

Η διακύμανση δίνεται από τον τύπο ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}={\frac {m^{2}}{2}}+{\frac {M^{2}}{2}}-\left({\frac {m+M}{2}}\right)^{2}={\frac {m^{2}}{4}}+{\frac {M^{2}}{4}}-{\frac {2mM}{4}}=\left({\frac {M-m}{2}}\right)^{2}.}$

Παραλλαγές

Η ανισότητα αυτή αναφέρεται στην εργασία του Τιβέριου Ποποβίτσιου το 1935.^[1] Έκτοτε διάφορες παραλλαγές και γενικεύσεις έχουν παρουσιαστεί.^{[2][3][4][5][6][7]}

Η εργασία του Γκραςς δίνει την εξής γενίκευση για δύο τυχαίες μεταβλητές ${\displaystyle X\in [m_{1},M_{1}]}$ και ${\displaystyle Y\in [m_{2},M_{2}]}$,^[8]

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)\leq {\frac {(M_{1}-m_{1})\cdot (M_{2}-m_{2})}{4}}}$

όπου ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)}$ είναι η συνδιακύμανση των ${\displaystyle X}$ και ${\displaystyle Y}$. Για ${\displaystyle X=Y}$, λαμβάνουμε την ανισότητα Ποποβίτσιου.

Ο Μπάτια και ο Ντέιβις παρουσίασαν την εξής γενίκευση^[9]

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\leq \operatorname {E} ((X-m)\cdot (M-X))}$,

η οποία προκύπτει από την παραπάνω απόδειξη.

Παραπομπές

1. Popoviciu, T. (1935). «Sur les équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles». Mathematica (Cluj) 9: 129–145. 
2. Lim, Tongseok; McCann, Robert J. (2022). «Geometrical Bounds for Variance and Recentered Moments». Mathematics of Operations Research 47 (1): 286–296. doi:https://doi.org/10.1287/moor.2021.1125. 
3. Sharma, Rajesh; Gupta, M.; Kapoor, G. (2010). «Some better bounds on the variance with applications». Journal of Mathematical Inequalities (3): 355–363. doi:dx.doi.org/10.7153/jmi-04-32. 
4. Egozcue, Martín; García, Luis Fuentes (2018). «The variance upper bound for a mixed random variable». Communications in Statistics - Theory and Methods 47 (22): 5391–9395. doi:https://doi.org/10.1080/03610926.2017.1390136. 
5. Jacobson, Harold I. (1969). «The Maximum Variance of Restricted Unimodal Distributions». The Annals of Mathematical Statistics 40 (5): 1746–1752. doi:10.1214/aoms/1177697386. https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematical-statistics_1969-10_40_5/page/1746. 
6. Gray, H. L.; Odell, P. L. (1967). «On Least Favorable Density Functions». SIAM Review 9 (4): 715–720. doi:https://doi.org/10.1137/1009112. 
7. Abouammoh, A. M.; Mashhour, A. F. (1994). «Variance upper bounds and convolutions of α-unimodal distributions». Statistics & Probability Letters 21 (4): 281–289. doi:https://doi.org/10.1016/0167-7152(94)00017-4. 
8. Grüss, G.; García, Luis Fuentes (1935). «Über das maximum des absoluten Betrages von». Mathematische Zeitschrift 39 (1): 215–26. 
9. Bhatia, Rajendra; Davis, Chandler (April 2000). «A Better Bound on the Variance». American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 107 (4): 353–357. doi:10.2307/2589180. ISSN 0002-9890. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2000-04_107_4/page/353.