Ανισότητα Πουανκαρέ

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Πουανκαρέ είναι αποτέλεσμα της θεωρίας των χώρων Σομπόλεφ και πήρε το όνομα της από τον Γάλλο μαθηματικό Ανρί Πουανκαρέ. Η ανισότητα επιτρέπει σε κάποιον να δώσει φραγή σε μία συνάρτηση χρησιμοποιώντας φραγή στις παραγώγους της και την γεωμετρία της περιοχής ορισμού της. Οι εν λόγω φραγές έχουν μεγάλη σημασία στις σύγχρονες, άμεσες μεθόδους του λογισμού των μεταβολών. Ένα πολύ στενά συνδεδεμένο αποτέλεσμα είναι η ανισότητα Friedrichs.

Δήλωση της ανισότητας

Η κλασική ανισότητα Πουανκαρέ

Έστω p, τέτοιο ώστε 1 ≤ p < ∞ και Ω ένα υποσύνολο με τουλάχιστον ένα φράγμα. Τότε υπάρχει μία σταθερά C, εξαρτώμενη μόνο από το Ω και p, έτσι ώστε για κάθε συνάρτηση u στον συναρτησιακό χώρο Σομπόλεφ W₀^1,p(Ω) των αΐχνωτων συναρτήσεων (ή συναρτήσεων μηδενικού ίχνους),

${\displaystyle u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}.}$

Ανισότητα Πουανκαρέ–Γουίρτινγκερ

Έστω ότι 1 ≤ p < ∞ και ότι Ω είναι οριοθετημένο συνεκτικό ανοιχτό υποσύνολο του n-διάστατου ευκλείδειου χώρου Rⁿ με ένα όριο Λίπσιτς (δηλαδή, Ω είναι Λίπσιτς χώρος). Τότε υπάρχει μια σταθερά C, που εξαρτάται μόνο από τα Ω και p, έτσι ώστε για κάθε συνάρτηση u στον συναρτησιακό χώρο Σομπόλεφ W^1,p(Ω),

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )},}$ όπου

${\displaystyle u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y}$

είναι η μέση τιμή του u πάνω στο Ω, με |Ω| να είναι το μέτρο Λεμπέκ, του χώρου Ω.

Γενικεύσεις

Υπάρχουν γενικεύσεις της ανισότητα Πουανκαρέ σε άλλους συναρτησιακούς χώρους Σομπόλεφ. Για παράδειγμα, το ακόλουθο (που λαμβάνεται από Garroni & Müller (2005) ) είναι μια ανισότητα Πουανκαρέ για τον συναρτησιακό χώρο Σομπόλεφ H^1/2(T²), δηλαδή ο συναρτησιακός χώρος των συναρτήσεων u στον συναρτησιακό χώρο L² του μοναδιαίου τόρου T² με μετασχηματισμού Φουριέ û ικανοποιεί το

${\displaystyle [u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|\left|{\hat {u}}(k)\right|^{2}<+\infty :}$

υπάρχει σταθερά C τέτοια ώστε, για κάθε συνάρτηση u ∈ H^1/2(T²) με συνάρτηση u ταυτοτικά μηδενική σε ένα ανοιχτό σύνολο E ⊆ T²

${\displaystyle \int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\mathrm {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},}$

όπου cap(E × {0}) την αρμονική χωρητικότητα της E × {0} όταν θεωρηθεί ως ένα υποσύνολο του R³.

Η σταθερά του Πουανκαρέ

Η βέλτιστη σταθερά C στην ανισότητα Πουανκαρέ είναι μερικές φορές γνωστή ως σταθερά του Πουανκαρέ για τον χώρο Ω. Ο προσδιορισμός της σταθεράς Πουανκαρέ είναι, σε γενικές γραμμές, μία πολύ δύσκολη διαδικασία που εξαρτάται από την τιμή του p και τη γεωμετρία του χώρου Ω. Όμως, σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις είναι εύκολος. Για παράδειγμα, αν Ω είναι ένας οριοθετημένος κυρτός Λίπσιτς χώρος με διάμετρο d, τότε η συνεχής Πουανκαρέ είναι το πολύ d/2 για p = 1, d/π για p = 2 (Acosta & Durán 2004; Payne & Weinberger 1960), και αυτή είναι η καλύτερη δυνατή εκτίμηση για τη συνεχή Πουανκαρέ όσον αφορά τη διάμετρο και μόνο. Για τις ομαλές συναρτήσεις, αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως μια εφαρμογή της ισοπεριμετρικής ανισότητας σε επίπεδο συνόλων των συναρτήσεων. Σε μια διάσταση, αυτή είναι η ανισότητα Γουίρτινγερ για συναρτήσεις.

Ωστόσο, σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις η σταθερά C μπορεί να προσδιοριστεί συγκεκριμένα. Για παράδειγμα, για p = 2,είναι γνωστό ότι πάνω από το χώρο του ορθογώνιου ισοσκελούς τριγώνου C = 1/π ( < d/π όπου ${\textstyle d={\sqrt {2}}}$). (Βλέπε, για παράδειγμα, Kikuchi & Liu 2007.)

Επιπρόσθετα, για ένα ομαλό, φραγμένο χωρίο Ω, μιας και ο λόγος Rayleigh για τον τελεστή του Λαπλάς στον χώρο ελαχιστοποιείται από ιδιοσυνάρτηση που αντιστοιχεί στην ελάχιστη ιδιοτιμή λ₁ της (αρνητικής) Λαπλασιανής, είναι απλή συνέπεια ότι για κάθε ${\textstyle u\in W_{0}^{1,2}(\Omega ),}$

${\displaystyle \|u\|_{L^{2}}^{2}\leq \lambda _{1}^{-1}\left\|\nabla u\right\|_{L^{2}}^{2}}$

και επιπρόσθετα, ότι η σταθερά λ₁ είναι βέλτιστη.

Παραπομπές

• Acosta, Gabriel; Durán, Ricardo G. (2004), «An optimal Poincaré inequality in L¹ for convex domains», Proc. Amer. Math. Soc. 132 (1): 195–202 (electronic), doi:10.1090/S0002-9939-03-07004-7 
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial differential equations, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 
• Fumio, Kikuchi; Xuefeng, Liu (2007), «Estimation of interpolation error constants for the P0 and P1 triangular finite elements», Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg. 196 (37–40): 3750–3758, doi:10.1016/j.cma.2006.10.029 
• Garroni, Adriana; Müller, Stefan (2005), «Γ-limit of a phase-field model of dislocations», SIAM J. Math. Anal. 36 (6): 1943–1964 (electronic), doi:10.1137/S003614100343768X 
• Payne, L. E.; Weinberger, H. F. (1960), «An optimal Poincaré inequality for convex domains», Archive for Rational Mechanics and Analysis: 286–292, ISSN 0003-9527 

Δείτε επίσης

• Ανρί Πουανκαρέ