Ανισότητα Σάμιουελσον

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στην στατιστική, η ανισότητα Σάμιουελσον (αναφέρεται και ως ανισότητα Samuelson) λέει ότι για κάθε ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, ισχύει ότι^[1]

${\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{i}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}},}$

όπου ${\textstyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ είναι η δειγματική μέση τιμή και ${\textstyle s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$ είναι η δειγµατική διακύμανση.

Δηλαδή σε μία δειγματοληψία, κάθε ένα από τα δείγματα είναι στο διάστημα ${\displaystyle {\big [}{\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}},{\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}{\big ]}}$.

Ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Πολ Σάμιουελσον.

Απόδειξη

Η απόδειξη που θα δούμε βασίζεται στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς και ακολουθεί αυτή στην εργασία του Άρνολντ.^[2]

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα αποδείξουμε την ανισότητα για ${\displaystyle i=n}$. Θεωρούμε τα διανύσματα ${\displaystyle \mathbf {a} =(x_{1},\ldots ,x_{n-1})}$ και ${\displaystyle \mathbf {b} =(1,\ldots ,1)}$. Από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, έχουμε ότι

${\displaystyle |\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |\leq \lVert \mathbf {a} \rVert \cdot \lVert \mathbf {b} \rVert .}$

Το εσωτερικό τους γινόμενο δίνεται από

${\displaystyle |\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |=\left|\sum _{j=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{j})\right|=\left|(n-1){\overline {x}}-(n\cdot {\overline {x}}-x_{n})\right|=\left|x_{n}-{\overline {x}}\right|.}$

Το δεξί μέλος της ανισότητας δίνεται από

${\displaystyle \lVert \mathbf {a} \rVert \cdot \lVert \mathbf {b} \rVert ={\sqrt {\sum _{i=1}^{n-1}1^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}}={\sqrt {(n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}}}$

Συνδυάζοντας τα δύο μέλη, λαμβάνουμε

${\displaystyle \left|x_{n}-{\overline {x}}\right|\leq {\sqrt {(n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}}}$.

Υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη,

${\displaystyle \left|x_{n}-{\overline {x}}\right|^{2}\leq (n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}$,

και προσθέτοντας τον όρο ${\displaystyle (n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{n})^{2}}$ και στα δύο μέλη,

${\displaystyle n\cdot \left|x_{n}-{\overline {x}}\right|^{2}\leq (n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}$.

Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι

${\displaystyle \left|x_{n}-{\overline {x}}\right|\leq {\sqrt {{\frac {n-1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}}}$

Από τον ορισμό της δειγµατικής διακύµανσης έχουμε ότι

${\displaystyle \left|x_{n}-{\overline {x}}\right|\leq s{\sqrt {n-1}}}$.

Σχέση με ανισότητα Τσεμπισιόφ

Η ανισότητα Τσεμπισιόφ μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να δώσει ένα λιγότερο ισχυρό φράγμα για την απόκλιση ${\displaystyle |{\overline {x}}-x_{i}|}$. Για κάθε τυχαία μεταβλητή ${\displaystyle X}$ η ανισότητα Τσεμπισιόφ λέει ότι για κάθε ${\displaystyle \alpha >0}$,

${\displaystyle \Pr \left(\left|X-E[X]\right|\leq \alpha \right)\leq {\frac {\mathrm {Var} (X)}{\alpha ^{2}}}}$.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή ${\displaystyle X}$ για την οποία ${\displaystyle \Pr(X=x_{i})={\tfrac {1}{n}}}$ για κάθε ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$. Τότε ισχύει ότι ${\displaystyle E[X]={\overline {x}}}$ και ${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}({\overline {x}}-x_{i})^{2}=s}$. Για ${\displaystyle \alpha =\sigma ^{2}}$ η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει ότι

${\displaystyle \Pr \left(|X-{\overline {x}}|\leq s{\sqrt {n}}\right)>1-{\frac {1}{n}}.}$

Επομένως, με πιθανότητα ${\displaystyle 1-1/n}$ (δηλαδή πάντοτε αφού κάθε τιμή έχει πιθανότητα να επιλεγεί ${\displaystyle 1/n}$) ισχύει ότι,

${\displaystyle |X-{\overline {x}}|\leq s{\sqrt {n}},}$

που είναι ισοδύναμο ότι για κάθε ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$,

${\displaystyle |x_{i}-{\overline {x}}|\leq s{\sqrt {n}}.}$

Σε σχέση με την ανισότητα Σάμιουελσον είναι λιγότερο ισχυρό αφού ${\displaystyle {\sqrt {n}}\geq {\sqrt {n-1}}}$, αλλά η ανισότητα μπορεί να δώσει φράγματα για κάποιο δοθέν ποσοστό των δειγμάτων.

Γενικεύσεις

Διάφορες γενικεύσεις της ανισότητας Σάμιουελσον έχουν μελετηθεί.^[3][4][5]

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Τσεμπισιόφ

Παραπομπές

1. Samuelson, Paul A. (Δεκεμβρίου 1968). «How Deviant Can You Be?». Journal of the American Statistical Association 63 (324): 1522–1525. doi:10.2307/2285901. https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1968-12_63_324/page/1522. 
2. Arnold, Barry C. (Φεβρουαρίου 1974). «Schwarz, Regression, and Extreme Deviance». The American Statistician 28 (1): 22–23. doi:10.1080/00031305.1974.10479058. https://archive.org/details/sim_american-statistician_1974-02_28_1/page/22. 
3. Jensen, Shane Tyler. The Laguerre-Samuelson inequality with extensions and applications in statistics and matrix theory (Διδακτορική διατριβή). McGill University. 
4. Wolkowicz, Henry; Styan, George P.H. (Αυγούστου 1979). «Extensions of Samuelson's Inequality». The American Statistician 33 (3): 143–144. doi:10.1080/00031305.1979.10482683. https://archive.org/details/sim_american-statistician_1979-08_33_3/page/143. 
5. Jensen, Shane T.; Styan, George P. H. (1999). «Some Comments and a Bibliography on the Laguerre-Samuelson Inequality with Extensions and Applications in Statistics and Matrix Theory». Analytic and Geometric Inequalities and Applications: 151–181. doi:10.1007/978-94-011-4577-0_10.