Ανισότητα Χέλντερ

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Χέλντερ (αναφέρεται και ως ανισότητα Hölder) είναι η ανισότητα,^[1]:28

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}\right)^{1/q},}$

που ισχύει για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ και ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$ και για ${\displaystyle p,q>1}$ έτσι ώστε ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$.

Η ανισότητα ισχύει και για οποιεσδήποτε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις ${\displaystyle f,g:[a,b]\to \mathbb {R} }$,^[2]:21

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)g(x)|\,dx\leq \left(\int _{a}^{b}(|f(x)|)^{p}\,dx\right)^{1/p}\cdot \left(\int _{a}^{b}(|f(x)|)^{q}\,dx\right)^{1/q}.}$

Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Όττο Χέλντερ για την εργασία του το 1889.^[3]

Απόδειξη

Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα Γιανγκ. Η ανισότητα Γιανγκ δίνει ότι για κάθε πραγματικούς αριθμούς ${\displaystyle a,b}$ και ${\displaystyle p,q>1}$ με ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$,

${\displaystyle {\frac {|a|^{p}}{p}}+{\frac {|b|^{q}}{q}}\geq |a|\cdot |b|.}$

Για την ανισότητα Χέλντερ κάνουμε την παρατήρηση ότι είναι ομογενής, δηλαδή αν θεωρήσουμε τους αριθμούς ${\displaystyle a_{i}'=\lambda _{1}a_{i}}$ και ${\displaystyle b_{i}'=\lambda _{2}b_{i}}$ για οποιεσδήποτε σταθερές ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}>0}$, λαμβάνουμε μία ανισότητα ισοδύναμη με την αρχική ανισότητα, καθώς

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}'|^{q}\right)^{1/q}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}\right)^{1/q}\quad }$ και ${\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|=\lambda _{1}\lambda _{2}\sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|}$.

Επομένως διαλέγοντας ${\displaystyle \lambda _{1}^{-1}=\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}}$ και ${\displaystyle \lambda _{2}^{-1}=\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}}$, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ${\displaystyle a_{i}'}$ και ${\displaystyle b_{i}'}$ με ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'|^{p}=1}$ και ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|b_{i}'|^{q}=1}$, ισχύει ότι

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|\leq 1.}$

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Γιανγκ, έχουμε ότι

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|=\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'||b_{i}'|\leq \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {|a_{i}'|^{p}}{p}}+{\frac {|b_{i}'|^{q}}{q}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'|^{p}}{p}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}|b_{i}'|^{q}}{q}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$

ολοκληρώνοντας την απόδειξη της ανισότητας Χέλντερ.

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Γιανγκ για το Γινόμενο

Παραπομπές

1. Στεργίου, Μπάμπης (2017). «Εισαγωγή στις ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022. 
2. Κολουντζάκης, Μιχαήλ· Παπαχριστόδουλος, Χρήστος (2015). Ανάλυση Fourier. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-960-603-360-5. 
3. Hölder, O. (1889). «Ueber einen Mittelwertsatz» (στα γερμανικά). Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. Band 1889 (2): 38–47. http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00252421X.