Γεννημένος στη Καστελλαμμάρε ντι Στάμπια, ξεκίνησε την ποδοσφαιρική του πορεία στην τοπική ομάδα Γιούβε Στάμπια, πριν από τη μετακίνηση του στη Μίλαν στην ηλικία των 15 ετών.[4] Πέρασε πέντε σεζόν στο σύστημα της ακαδημίας νέων του συλλόγου και ήταν μέλος της ομάδας U17 που κέρδισε το Campionato Nazionale Allievi το 2007,[5] καθώς και μέλος της ομάδας U20 που κέρδισε το Κύπελλο Ιταλίας Νέων το 2010 - 25 χρόνια μετά την τελευταία επιτυχία της ομάδας στη διοργάνωση -, αν και έχασε τον επαναληπτικό αγώνα του τελικού, λόγω τιμωρίας.[6][7]
Επίσης, επιλέχθηκε πέντε φορές σε αγώνες της πρώτης ομάδας από το 2008, αλλά τελικά δεν είχε ποτέ επιλεγεί για το βασικό σχήμα, ούτε για τους αναπληρωματικούς.[8][9][10][11][12] Παρ' όλα αυτά, ο προπονητής της ακαδημίας νέων Φίλιπο Γκάλι, υπαινίχθηκε ότι ο νεαρός τερματοφύλακας μπορεί να ήταν έτοιμος να γίνει μόνιμο μέλος της πρώτης ομάδας.[13]
Τη σεζόν 2010-11, μετακινήθηκε ως δανεικός στη Πιατσέντζα της Σέριε Β,[14] προκειμένου να αποκτήσει εμπειρία αγώνων πρώτης ομάδας.[15] Έκανε το επίσημο ντεμπούτο του για το σύλλογο στις 14 Αυγούστου 2010, στο δεύτερο προκριματικό γύρο του Κυπέλλου Ιταλίας εναντίον της Βίρτους Λαντσιάνο, παίζοντας και στα, συνολικά, 120 λεπτά, καθώς η ομάδα του πήρε την πρόκριση, κερδίζοντας με 5-3 στην παράταση.[16] Ωστόσο, την επόμενη εβδομάδα ο Μάριο Κασάνο, πήρε τη θέση του, στον πρώτο αγώνα πρωταθλήματος της σεζόν.[17] Η δεύτερη εμφάνισή του ήρθε στις 27 Οκτωβρίου, στον τρίτο προκριματικό γύρο του Κυπέλλου εναντίον της Κάλιαρι της Σέριε Α[18] και παρά την ήττα με 3-0, η απόδοση του θεωρήθηκε καλή.[19]
Συνέχισε τη σεζόν ως αναπληρωματικός του Κασάνο, αλλά δύο αγώνες πριν το τέλος της, ο Κασάνο τιμωρήθηκε με ποινή 3 αγωνιστικών για προσβολή ενός διαιτητή.[20] Αυτό επέτρεψε στο Ντοναρούμα να κάνει το ντεμπούτο του στη Σέριε Β στις 21 Μαΐου 2011, σε έναν εντός έδρας αγώνα εναντίον της ΑλμπινοΛέφφε, όπου αν και έκανε κάποιες καλές αποκρούσεις στο πρώτο ημίχρονο, η Πιατσέντζα έχασε με 3-1.[21] Την επόμενη εβδομάδα, ήταν επίσης στο βασικό σχήμα, καθώς η ομάδα του έχασε με 1-0 από τη Βαρέζε.[22] Η Πιατσέντζα τελείωσε τη σεζόν στην 19η θέση και έπρεπε να αγωνιστεί στα πλέι οφ υποβιβασμού εναντίον της ΑλμπινοΛέφφε. Ο Ντοναρούμα αγωνίστηκε στον πρώτο αγώνα, κρατώντας ανέπαφη την εστία στην ισοπαλία 0-0[23], αλλά ήταν στον πάγκο στον δεύτερο αγώνα, στην επιστροφή του Κασάνο από την τιμωρία του, στην εκτός έδρας ισοπαλία με 2-2, που σήμαινε πως η Πιατσέντζα υποβιβαζόταν στην Lega Pro Prima Divisione.[24]
Τη σεζόν 2011-12, η Μίλαν τον έστειλε δανεικό, στην προβιβασμένη στην Σέριε Β, Γκούμπιο, με την τελευταία να έχει την επιλογή της μεταγραφής του την επόμενη σεζόν.[25] Στις 15 Αυγούστου 2011, έκανε το επίσημο ντεμπούτο του για το σύλλογο, στο δεύτερο προκριματικό γύρο του Κυπέλλου εναντίον της Μπενεβέντο. παίζοντας και στα, συνολικά, 120 λεπτά της ισοπαλίας 2-2 στην παράταση και στη συνέχεια έσωσε δύο εκτελέσεις πέναλτι, βοηθώντας την ομάδα του να κερδίσει τη διαδικασία με 3-2.[26][27] Την επόμενη εβδομάδα, έκανε μερικές κρίσιμες επεμβάσεις στη νική με 4-3 επί της Αταλάντα, για τον τρίτο προκριματικό γύρο του Κυπέλλου.[28][29] Στις 27 Αυγούστου, στην πρώτη αγωνιστική του πρωταθλήματος, διατήρησε τη θέση του στο βασικό σχήμα, στην εκτός έδρας ήττα με 2-0 από τη Γκροσέτο.[30] Ολοκλήρωσε τη σεζόν έχοντας 37 συμμετοχές στο πρωτάθλημα, σε σύνολο 42 αγώνων, καθώς η Γκούμπιο τερμάτισε στην προτελευταία θέση και υποβιβάστηκε στην Lega Pro Prima Divisione.[31]
Στις 30 Μαΐου 2012, ενώ απαντούσε σε ερωτήσεις από οπαδούς κατά τη διάρκεια μιας ζωντανής διαδικτυακής συνομιλίας, δήλωσε ότι ήταν "99,9% σίγουρος" ότι θα υπογράψει προέκταση του συμβολαίου του με τη Μίλαν, το οποίο επρόκειτο να λήξει το επόμενο έτος. Ωστόσο, τόνισε επίσης ότι «δεν πρόκειται να μείνει στη Μίλαν για να είναι ο τρίτος τερματοφύλακας» και θα προτιμούσε να παίξει για ακόμη μια σεζόν ως δανεικός, ώστε να έχει συχνό χρόνο συμμετοχής, κατά προτίμηση «σε μια ομάδα της Σέριε Β που παλεύει για την άνοδο".[32]
Παρά τις προηγούμενες δηλώσεις του, στις 31 Αυγούστου 2012 -τελευταία ημέρα μεταγραφών - μετακινήθηκε στην Τζένοα για 1,8 εκατομμύρια ευρώ,[33] υπογράφοντας τριετές συμβόλαιο [34], ως μέρος μίας συμφωνίας που βρήκε τον ταλαντούχο νέο Johad Ferretti να πηγαίνει στη Μίλαν, επίσης για 1,8 εκατομμύρια ευρώ.[34][35] Πέρασε τη σεζόν ως τρίτος τερματοφύλακας πίσω από τους Σεμπαστιάν Φρέι και Αλέξανδρο Τζόρβα, κάνοντας τη μοναδική του εμφάνιση και το ντεμπούτο του στη Σέριε Α, την τελευταία αγωνιστική, στην ισοπαλία 0-0 με τη Μπολόνια.[36][37] Διατήρησε τον ίδιο ρόλο και την επόμενη σεζόν, πίσω από τους νέους του συμπαίκτες, Ματία Περίν και Αλμπάνο Μπιζάρι. Παρά το γεγονός ότι δεν είχε ούτε μία συμμετοχή σε όλη τη διάρκεια της σεζόν, το Φεβρουάριο υπέγραψε προέκταση του συμβολαίου του με την Τζένοα μέχρι το 2018. [38]
Την περίοδο 2014-15, αγωνίστηκε ως δανεικός στη Μπάρι της Σέριε Β.[39] Ξεκίνησε τη σεζόν ως βασικός τερματοφύλακας, πριν χάσει τη θέση του από τον Ενρίκο Γκουάρνα στα μέσα Φεβρουαρίου.
Στις 27 Ιουλίου 2016, υπέγραψε τριετές συμβόλαιο με τον Αστέρα Τρίπολης.[40] Στις 30 Οκτωβρίου 2016, έκανε το ντεμπούτο του με τον σύλλογο, σε έναν αγώνα κυπέλλου εναντίον της Βέροιας.
Στις 12 Ιουλίου 2017, επανασυνδέθηκε με τον αδερφό του Τζανλουίτζι στη Μίλαν, υπογράφοντας τετραετές συμβόλαιο.[41] Έκανε το ντεμπούτο του στις 27 Δεκεμβρίου 2017, σε αγώνα του Ντέρμπι ντέλλα Μαντονίνα εναντίον της Ιντερ για το Κύπελλο, κρατώντας ανέπαφη την εστία του για 120 λεπτά, στη νίκη της ομάδας του στην παράταση.[42] Έκανε το ευρωπαϊκό ντεμπούτο του στις 22 Φεβρουαρίου 2018, στον δεύτερο αγώνα στην εντός έδρας νίκη με 1–0 εναντίον της Λουντογκόρετς στον γύρο των 32 του Γιουρόπα Λιγκ.[43] ύστερα από μία σεζόν χωρίς συμμετοχές, φημολογήθηκε πως ο Ντοναρούμε τοποθετήθηκε στη μεταγραφική λίστα, κυρίως λόγω του ασυνήθιστα υψηλού συμβολαίου του του 1 εκατομμυρίου ευρώ για τερματοφύλακα τρίτης επιλογής.[44] Ωστόσο, καθώς δεν πραγματοποιήθηκε μεταγραφή το καλοκαίρι του 2019, παρέμεινε στην ομάδα. Στις 15 Ιανουαρίου 2020, ο Ντοναρούμε έκανε την τρίτη του συμμετοχή για την ομάδα στην εντός έδρας νίκη με 3–0 εναντίον της ΣΠΑΛ στον γύρο των 16 του Κυπέλλου Ιταλίας, όπου κράτησε ξανά ανέπαφη την εστία του.[45] Ως αποτέλεσμα, έγινε ο πρώτος τερματοφύλακας στην ιστορία της Μίλαν όπου δεν δέχτηκε γκολ σε 300 λεπτά αγώνα από το ντεμπούτο του.[46]
↑«Varese 1–0 Piacenza». legaserieb.it (στα Ιταλικά). Σέριε Β. 29 Μαΐου 2011. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 4 Ιουνίου 2011. Ανακτήθηκε στις 1 Ιουνίου 2011.