Αρχικός υπερτέλειος αριθμός

Στα μαθηματικά αρχικός υπερτέλειος αριθμός (αγγλικά: primitive abundant number‎‎) είναι ένας υπερτέλειος αριθμός του οποίου οι κατάλληλοι διαιρέτες είναι όλοι ανεπαρκείς αριθμοί.^[1][2]

Για παράδειγμα, το 20 είναι ένας πρωτόγονος άφθονος αριθμός επειδή:

1. Το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του είναι 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22, άρα το 20 είναι ένας άφθονος αριθμός.
2. Τα αθροίσματα των κατάλληλων διαιρετών του 1, 2, 4, 5 και 10 είναι 0, 1, 3, 1 και 8 αντίστοιχα, οπότε καθένας από αυτούς τους αριθμούς είναι ένας ελλιπής αριθμός.

Οι πρώτοι πρωτόγονοι άφθονοι αριθμοί είναι:

20, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, 550, 572 ... (ακολουθία A071395 στην OEIS)

Ο μικρότερος περιττός πρωτόγονος άφθονος αριθμός είναι το 945.

Μια παραλλαγή είναι άφθονοι αριθμοί που δεν έχουν άφθονο κατάλληλο διαιρέτη (ακολουθία A091191 στην OEIS). Αρχίζει με:

12, 18, 20, 30, 42, 56, 66, 70, 78, 88, 102, 104, 114

Ιδιότητες

Κάθε πολλαπλάσιο ενός πρωτόγονου άφθονου αριθμού είναι ένας άφθονος αριθμός.

Κάθε άφθονος αριθμός είναι ένα πολλαπλάσιο ενός πρωτόγονου άφθονου αριθμού ή ένα πολλαπλάσιο ενός τέλειου αριθμού.

Κάθε πρωτόγονος άφθονος αριθμός είναι είτε ένας πρωτόγονος ημιτέλειος αριθμός είτε ένας περίεργος αριθμός.

Υπάρχει ένας άπειρος αριθμός πρωτόγονων άφθονων αριθμών.

Ο αριθμός των πρωτόγονων άφθονων αριθμών μικρότερος ή ίσος με το ν είναι ${\displaystyle \left({\frac {\nu }{\log ^{2}(\nu )}}\right)}$ ^[3]

Βιβλιογραφικές αναφορές

1. Weisstein, Eric W., "Primitive Abundant Number" από το MathWorld.
2. Erdős adopts a wider definition that requires a primitive abundant number to be not deficient, but not necessarily abundant (Erdős, Surányi and Guiduli.
3. Paul Erdős, Journal of the London Mathematical Society 9 (1934) 278–282.