Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν

Η υπόθεση Ρίμαν είναι μία από τις σημαντικότερες εικασίες στα μαθηματικά. Πρόκειται για μια δήλωση σχετικά με τα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν. Διάφορα γεωμετρικά και αριθμητικά αντικείμενα μπορούν να περιγραφούν από τις λεγόμενες γενικές συναρτήσεις L, οι οποίες είναι τυπικά παρόμοιες με τη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν. Το ίδιο ερώτημα μπορεί στη συνέχεια να τεθεί σχετικά με τα μηδενικά αυτών των συναρτήσεων L, γεγονός που οδηγεί σε διάφορες γενικεύσεις της υπόθεσης του Ρίμαν. Πολλοί μαθηματικοί πιστεύουν ότι αυτές οι γενικεύσεις της υπόθεσης Ρίμαν είναι αληθείς. Οι μόνες περιπτώσεις αυτών των εικασιών που έχουν αποδειχθεί συμβαίνουν στην περίπτωση αλγεβρικών σωμάτων συναρτήσεων (και όχι στην περίπτωση σωμάτων αριθμών).

Οι γενικές συναρτήσεις L μπορούν να συσχετιστούν με ελλειπτικές καμπύλες, αριθμητικά σώματα (οπότε ονομάζονται συναρτήσεις ζήτα του Ντέντεκιντ), μορφές Μάας και χαρακτήρες Ντίριχλετ (οπότε ονομάζονται συναρτήσεις L του Ντίριχλετ). Όταν η υπόθεση Ρίμαν διατυπώνεται για τις συναρτήσεις ζήτα Ντέντεκιντ, ονομάζεται εκτεταμένη υπόθεση Ρίμαν (ERH) και όταν διατυπώνεται για τις συναρτήσεις Ντίριχλετ L, ονομάζεται γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν ή γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν (GRH). Οι δύο αυτές δηλώσεις θα εξεταστούν λεπτομερέστερα παρακάτω. (Πολλοί μαθηματικοί χρησιμοποιούν τον όρο γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για να καλύψουν την επέκταση της υπόθεσης Ρίμαν σε όλες τις σφαιρικές συναρτήσεις L, όχι μόνο στην ειδική περίπτωση των συναρτήσεων Ντίρικλετ L).

Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν (GRH)

Η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν (για τις συναρτήσεις Ντίριχλετ L) διατυπώθηκε πιθανώς για πρώτη φορά από τον Άντολφ Πιλτζ το 1884^[1]. Όπως και η αρχική υπόθεση Ρίμαν, έχει εκτεταμένες συνέπειες σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών.

Η τυπική διατύπωση της υπόθεσης ακολουθεί. Ένας χαρακτήρας Ντίριχλετ είναι μια πλήρως πολλαπλασιαστική αριθμητική συνάρτηση χ τέτοια ώστε να υπάρχει ένας θετικός ακέραιος k με χ(n + k) = χ(n) για όλα τα n και χ(n) = 0 όποτε gcd(n, k) > 1. Αν ένας τέτοιος χαρακτήρας είναι δεδομένος, ορίζουμε την αντίστοιχη Ντίριχλετ L-συνάρτηση ως εξής

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

για κάθε μιγαδικό αριθμό s έτσι ώστε Re s > 1. Με αναλυτική συνέχεια, η συνάρτηση αυτή μπορεί να επεκταθεί σε μια μερομορφική συνάρτηση (μόνο όταν ${\displaystyle \chi }$ είναι πρωταρχική) που ορίζεται σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν δηλώνει ότι, για κάθε χαρακτήρα Ντίριχλετ χ και κάθε μιγαδικό αριθμό s με L(χ, s) = 0, αν ο s δεν είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός, τότε το πραγματικό μέρος του s είναι 1/2.

Στην περίπτωση χ(n) = 1 για όλα τα n προκύπτει η συνήθης υπόθεση Ρίμαν.

Συνέπειες της GRΗ

Το θεώρημα του Ντίριχλετ δηλώνει ότι αν τα a και d είναι πρώτοι φυσικοί αριθμοί, τότε η αριθμητική ακολουθίαa, a + d, a + 2d, a + 3d, ... περιέχει άπειρο αριθμό πρώτων αριθμών. Έστω π(x, a, d) το πλήθος των πρώτων αριθμών αυτής της προόδου που είναι μικρότεροι ή ίσοι με το x. Αν η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής, τότε για κάθε πρώτο a και d και για κάθε ε > 0,

${\displaystyle \pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,dt+O(x^{1/2+\varepsilon })\quad {\mbox{ as }}\ x\to \infty ,}$

όπου ${\displaystyle \varphi }$ είναι η συνάρτηση του Όιλερ και ${\displaystyle O}$ είναι ο συμβολισμός Μεγάλο Ο (Big O). Πρόκειται για μια σημαντική ενίσχυση του θεωρήματος των πρώτων αριθμών.

Αν η GRH είναι αληθής, τότε κάθε κατάλληλη υποομάδα της πολλαπλασιαστικής ομάδας ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ παραλείπει έναν αριθμό μικρότερο από 2(ln n)², καθώς και έναν αριθμό συζυγή με το n μικρότερο από 3(ln n)².^[2] Με άλλα λόγια, το ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ παράγεται από ένα σύνολο αριθμών μικρότερο από 2(ln n)². Αυτό χρησιμοποιείται συχνά σε αποδείξεις και έχει πολλές συνέπειες, όπως παραδείγματος χάριν (υποθέτοντας GRH):

• Το τεστ πρωτοτυπίας Μίλερ^[3] - Ράμπιν είναι εγγυημένο σε πολυωνυμικό χρόνο. (Ένα τεστ πρωτοτυπίας πολυωνυμικού χρόνου που δεν απαιτεί GRH, το τεστ πρωτοτυπίας AKS, δημοσιεύθηκε το 2002).
• Ο αλγόριθμος Σάνκς-Τονέλι εκτελείται εγγυημένα σε πολυωνυμικό χρόνο^[4].
• Ο προσδιοριστικός αλγόριθμος Ιβάνιος-Καρπίνσκι-Σαξένα^[5] για την παραγοντοποίηση πολυωνύμων πάνω σε πεπερασμένα σώματα με πρώτους σταθερούς ομαλούς βαθμούς είναι εγγυημένο ότι εκτελείται σε πολυωνυμικό χρόνο.

Αν η GRH είναι αληθής, τότε για κάθε πρώτος αριθμός p υπάρχει μια πρωταρχική ρίζα mod p (γεννήτρια της πολλαπλασιαστικής ομάδας των ακεραίων modulo p) που είναι μικρότερη από ${\displaystyle O((\ln p)^{6}).}$^[6]

Η αδύναμη εικασία του Γκόλντμπαχ προκύπτει επίσης από τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν. Η απόδειξη αυτής της εικασίας από τον Χάραλντ Χέλφγκοτ, η οποία μένει να επαληθευτεί, επαληθεύει τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για αρκετές χιλιάδες μικρούς χαρακτήρες μέχρι ένα ορισμένο φανταστικό μέρος, ώστε να προκύψουν επαρκή όρια που αποδεικνύουν την εικασία για όλους τους ακέραιους αριθμούς μεγαλύτερους από 10²⁹, ενώ οι μικρότεροι ακέραιοι αριθμοί έχουν ήδη επαληθευτεί με υπολογισμούς^[7]

Υποθέτοντας αληθινή την GRH, η εκτίμηση του αθροίσματος των χαρακτήρων στην ανισότητα Πολιά-Βινογκράντοβ μπορεί να βελτιωθεί σε ${\displaystyle O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)}$, με q να είναι ο συντελεστής του χαρακτήρα.

Εκτεταμένη υπόθεση Ρίμαν (ERH)

Ας υποθέσουμε ότι το Κ είναι ένα σώμα αριθμών (μια πεπερασμένης διάστασης επέκταση σώμα των ρητών Q) με δακτύλιο ακεραίων O_K (αυτός ο δακτύλιος είναι το ολοκληρωτικό κλείσιμο των ακεραίων Z στο Κ). Αν το a είναι ένα ιδανικό του O_K, εκτός από το μηδενικό ιδανικό, συμβολίζουμε την νόρμα του με Na. Η ζήτα-συνάρτηση Ντέντεκιντ του Κ ορίζεται τότε ως εξής

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}}$

για κάθε μιγαδικό αριθμό s με πραγματικό μέρος > 1. Το άθροισμα επεκτείνεται σε όλα τα μη μηδενικά ιδανικά a του O_K.

Η ζήτα-συνάρτηση Ντέντεκιντ ικανοποιεί μια συναρτησιακή εξίσωση και μπορεί να επεκταθεί με αναλυτική συνέχεια σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Η συνάρτηση που προκύπτει κωδικοποιεί σημαντικές πληροφορίες για το σώμα αριθμών K. Η εκτεταμένη υπόθεση Ρίμαν ισχυρίζεται ότι για κάθε σώμα αριθμών K και κάθε μιγαδικό αριθμό s με ζ_K(s) = 0: αν το πραγματικό μέρος του s είναι μεταξύ 0 και 1, τότε είναι στην πραγματικότητα 1/2.

Η συνήθης υπόθεση Ρίμαν προκύπτει από την εκτεταμένη υπόθεση αν θεωρήσουμε ότι το σώμα αριθμών είναι Q, με δακτύλιο ακεραίων Z.

Η ERH συνεπάγεται μια αποτελεσματική εκδοχή^[8] του θεωρήματος πυκνότητας του Τσεμποτάρεφ: αν L/K είναι μια πεπερασμένη επέκταση Γαλουά με ομάδα Γκαλουά G, και C μια ένωση των κλάσεων συζυγίας της G, ο αριθμός των μη ενοποιημένων πρώτων αριθμών του K με νόρμα μικρότερη από x με κλάση συζυγίας Φρομπένιους στο C είναι

${\displaystyle {\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\operatorname {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},}$

όπου η σταθερά που υπονοείται στον συμβολισμό big-O είναι απόλυτη, n είναι ο βαθμός του L πάνω στο Q, και Δ η διακριτική του.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Riemann hypothesis, generalized», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r081940 

Βιβλιογραφία

• The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike
• Primality Testing and Integer Factorization in Public-Key Cryptography
• "An Introduction to Probabilistic Number Theory"
• "Encyclopaedia of Mathematics: Reaction-Diffusion Equation - Stirling ..."

Παραπομπές

1. Davenport, Harold (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 74. Revised and with a preface by Hugh L. Montgomery (Third έκδοση). New York: Springer-Verlag. σελ. 124. ISBN 0-387-95097-4. 
2. Bach, Eric (1990). «Explicit bounds for primality testing and related problems». Mathematics of Computation 55 (191): 355–380. doi:10.2307/2008811. 
3. «Sample code for fast primality testing in C#». Stack Overflow (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 8 Απριλίου 2024. 
4. Internet Archive, Ivan Morton (1991). An introduction to the theory of numbers. New York : Wiley. ISBN 978-0-471-62546-9. 
5. Ivanyos, Gabor· Karpinski, Marek· Saxena, Nitin (2009). «Schemes for deterministic polynomial factoring». Proceedings of the 2009 international symposium on Symbolic and algebraic computation (ISAAC). σελίδες 191–198. arXiv:0804.1974 . doi:10.1145/1576702.1576730. ISBN 9781605586090. 
6. Shoup, Victor (1992). «Searching for primitive roots in finite fields». Mathematics of Computation 58 (197): 369–380. doi:10.2307/2153041. https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1992-01_58_197/page/369. 
7. p5. Helfgott, Harald (2013). «Major arcs for Goldbach's theorem».
   arXiv:1305.2897
    [math.NT]
   . 

8. Lagarias, J.C.; Odlyzko, A.M. (1977). «Effective Versions of the Chebotarev Theorem». Algebraic Number Fields: 409–464.