Ο Μπολαζί ξεκίνησε τη σταδιοδρομία του με τη Ράσντεν & Ντάιαμοντς σε ηλικία 16 ετών. Πέρασε τέσσερις μήνες ως μέλος της ομάδας νέων και στη συνέχεια έκανε ένα πέρασμα με την Χίλινγκτον Μπόρο στη Σάδερν Φούτμπολ Λιγκ, πριν μετακομίσει στη Μάλτα για τη Φλοριάνα.[7] Επέστρεψε στην Αγγλία το 2008, αφού του προσφέρθηκε ένα δοκιμαστικό με την Πλίμουθ Άργκαϊλ, όπου εντυπωσίασε και του προσφέρθηκε διετές συμβόλαιο.[8] Πέρασε δοκιμαστικά με τη Ντάγκεναμ & Ρέντμπριτζ με σκοπό την κίνηση δανεισμού,[9] προτού επιστρέψει ως δανεικός στη Ράσντεν & Ντάιαμοντς προς το τέλος της σεζόν.[10] Έκανε το ντεμπούτο του εναντίον της Ίστμπουρν Μπόρο στις 29 Νοεμβρίου[11] και έκανε συνολικά επτά εμφανίσεις στη Νάσιοναλ Λιγκ, πριν επιστρέψει στην Πλίμουθ τον Ιανουάριο του 2009. Ο Μπολαζί εντάχθηκε στη συνέχεια με δανεισμό στην Μπάρνετ[12] και έκανε το ντεμπούτο του στην Φούτμπολ Λιγκ εναντίον της Άκρινγκτον Στάνλεϊ στις 24 Ιανουαρίου 2009.[13] Σημείωσε το πρώτο του γκολ δύο εβδομάδες αργότερα, ανοίγοντας το σκορ στην ισοπαλία με 3-3 εναντίον της Γκρίμσμπι Τάουν.[14]
Ο Μπολαζί επέστρεψε στην Πλίμουθ στο τέλος της σεζόν 2008–09 έχοντας κάνει 20 εμφανίσεις πρωταθλήματος με την Μπάρνετ, σημειώνοντας τρία γκολ.[15] Ο προπονητής της ομάδας, Ίαν Χέντον, ήταν πρόθυμος να φέρει τον Μπολαζί πίσω, αλλά απέρριψε τις πιθανότητες να τον υπογράψει μόνιμα. Ο Χέντον είπε, «Ο Γιανίκ έχει ακόμη συμβόλαιο με την Πλίμουθ, οπότε είναι πιθανό ότι θα επιστρέψει εκεί στο τέλος της σεζόν.»[16] Εντάχθηκε ξανά στην Μπάρνετ τον Ιούλιο του 2009 με εξάμηνο δανεισμό, πριν από τη νέα σεζόν.
Ο Μπολαζί επέστρεψε στην Πλίμουθ τον Ιανουάριο του 2010,[17] έχοντας κάνει 22 επιπλέον εμφανίσεις στο πρωτάθλημα με τη Μπάρνετ, σημειώνοντας δύο γκολ.[18] Του δόθηκε η ευκαιρία να εντυπωσιάσει από τον προπονητή Πολ Μάρινερ, ο οποίος είχε αντικαταστήσει τον Στάροκ ένα μήνα νωρίτερα και τον συμπεριέλαβε στην ομάδα για να τον αγώνα εναντίον της Μπάρνσλεϊ στις 13 Φεβρουαρίου 2010.[19] Έκανε το ντεμπούτο του για τον σύλλογο σε αυτόν τον αγώνα, μπαίνοντας ως αλλαγή για να δώσει τη δυναμική στη νίκη με 3-1.[20] Σημείωσε το πρώτο του γκολ για το σύλλογο δύο εβδομάδες αργότερα εναντίον της Σέφιλντ Γιουνάιτεντ.[21] Ολοκλήρωσε τη σεζόν με 16 εμφανίσεις πρωταθλήματος,[22] αλλά δεν μπόρεσε να εμποδίσει τον σύλλογο από τον υποβιβασμό στην Φούτμπολ Λιγκ Ουάν. Προσφέρθηκε στον Μπολαζί ένα νέο συμβόλαιο από τον σύλλογο τον Απρίλιο του 2010[23] και το υπέγραψε τον Ιούλιο, μετά την άφιξη του Πίτερ Ριντ ως νέου προπονητή του συλλόγου.[24]
Ο Μπολαζί μετακινήθηκε στη Μπρίστολ Σίτι στις 6 Ιουνίου 2011, όπου υπέγραψε διετές συμβόλαιο.[25][26] Σημείωσε το πρώτο του γκολ για το σύλλογο στη νίκη με 3-1 εναντίον της Κόβεντρι Σίτι στις 9 Απριλίου 2012.[27] Πριν από τον αγώνα εναντίον του Μπάρνσλεϊ αργότερα τον ίδιο μήνα, ο Μπολαζί ανακηρύχθηκε Νεαρός Παίκτης της Χρονιάς από το Σύλλογο Οπαδών ύστερα από ψηφοφορία.[28] Υπέβαλε γραπτή αίτηση μεταγραφής τον Αύγουστο του 2012 επειδή ήθελε να επιστρέψει στο Λονδίνο.[29][30]
Ο Μπολαζί έκανε το ντεμπούτο του στην Πρέμιερ Λιγκ, ως αλλαγή, εναντίον της Λίβερπουλ στο Άνφιλντ στις 5 Οκτωβρίου 2013.[36] Αποβλήθηκε στο 78ο λεπτό στη νίκη με 1-0 εναντίον της Χαλ Σίτι στις 23 Νοεμβρίου 2013[37] και σκόραρε το πρώτο γκολ του στην Πρέμιερ Λιγκ στη νίκη με 3-2 επί της Έβερτον στο Γκούντισον Παρκ στις 21 Σεπτεμβρίου 2014.[38] Στις 11 Απριλίου 2015, σημείωσε ένα χατ τρικ σε 11 λεπτά εναντίον της Σάντερλαντ στη νίκη με 4-1 στο Στάδιο του Φωτός και έγινε ο πρώτος παίκτης της Κρίσταλ Πάλας που σημείωσε χατ τρικ στην Πρέμιερ Λιγκ.[39][40] Υπέγραψε ένα νέο συμβόλαιο τριάμισι ετών με την Κρίσταλ Πάλας στις αρχές της σεζόν 2015–16.[41]
Στις 15 Αυγούστου 2016, ο Μπολαζί εντάχθηκε στην Έβερτον, με κόστος μεταγραφής 25 εκατομμύρια λίρες.[42][43] Έκανε το ντεμπούτο του ως αλλαγή στη νίκη με 2-1 εναντίον της Γουέστ Μπρόμιτς Άλμπιον πέντε ημέρες αργότερα[44] και τρεις ημέρες μετά από αυτόν τον αγώνα έκανε την πρώτη του εμφάνιση ως βασικός για την Έβερτον, στη νίκη με 4-0 επί της Γέοβιλ Τάουν για το Λιγκ Καπ.[45] Ο Μπολαζί υπέστη τραυματισμό στο δεξί του πρόσθιο χιαστό σύνδεσμο στην ισοπαλία με 1-1 εναντίον της Μάντσεστερ Γιουνάιτεντ στις 4 Δεκεμβρίου 2016[46] και έμεινε εκτός αγωνιστικής δράσης μέχρι τις 26 Δεκεμβρίου 2017.[47]
Ο Μπολαζί υπέγραψε με την Άστον Βίλα με ετήσιο δανεισμό τον Αύγουστο του 2018,[48] αλλά επέστρεψε στις αρχές του Ιανουαρίου,[49] πριν δανειστεί στη βελγική Άντερλεχτ για το υπόλοιπο της σεζόν 2018-19.[50] Το Σεπτέμβριο του 2019 έγινε μέλος της Σπόρτινγκ Λισαβόνας, με δανεισμό για τη σεζόν 2019-20.[51]
Ο Μπολαζί ήταν επιλέξιμος να εκπροσωπήσει διεθνώς τη Γαλλία (γέννηση), την Αγγλία (ανατροφή) και τη Λαϊκή Δημοκρατία του Κονγκό (καταγωγή). Τον Ιανουάριο του 2013, ενώ έπαιζε στην Τσάμπιονσιπ για την Κρίστλα Πάλας, ο Μπολαζί απέρριψε την ευκαιρία να εκπροσωπήσει τη ΛΔ του Κονγκό στο Κύπελλο Εθνών Αφρικής του 2013, ισχυριζόμενος ότι δεν ήθελε να διακόψει την πρόοδο του με τον σύλλογο.[52] Το Μάρτιο του 2013, κλήθηκε και πάλι στην Εθνική της Λαϊκής Δημοκρατίας του Κονγκό,[53] όπου έκανε το διεθνές του ντεμπούτο[54] στα προκριματικά του Παγκοσμίου Κυπέλλου 2014, στην ισοπαλία με 0-0 εναντίον της Λιβύης.[55]