Γραμμική απεικόνιση

Στην γραμμική άλγεβρα, μία γραμμική απεικόνιση (ή γραμμικός μετασχηματισμός) μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων ${\displaystyle V}$ και ${\displaystyle W}$ επί του σώματος ${\displaystyle F}$ είναι μία συνάρτηση ${\displaystyle T:V\to W}$ η οποία ικανοποιεί

• ${\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)}$, για κάθε ${\displaystyle u,v\in V}$, και
• ${\displaystyle T(\alpha u)=\alpha T(u)}$, για κάθε ${\displaystyle u\in V}$ και ${\displaystyle \alpha \in F}$.

Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας και είναι ισοδύναμες με την σχέση

${\displaystyle T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)}$, για κάθε ${\displaystyle u,v\in V}$ και ${\displaystyle \alpha ,\beta \in F}$.

Αν οι διανυσματικοί χώροι ${\displaystyle V}$ και ${\displaystyle W}$ ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται γραμμικός τελεστής ή αλλιώς ενδομορφισμός.

Ιδιότητες

Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση ${\displaystyle T:U\to W}$:

• ${\displaystyle T(0_{U})=0_{W}}$.

Απόδειξη

Θεωρούμε ένα διάνυσμα ${\displaystyle u\in U}$. Τότε, ${\displaystyle T(0_{U})=T(u+(-u))=T(u+(-1_{F})u)=T(u)+(-1_{F})T(u)=0_{W}.}$

• Για οποιαδήποτε ${\displaystyle n}$ διανύσματα ${\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\in V}$ και σταθερές ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F}$, ισχύει ότι

${\displaystyle T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{n}u_{n})=\alpha _{1}T(u_{1})+\ldots +\alpha _{n}T(u_{n})}$.

Απόδειξη

Η απόδειξη είναι με την χρήση επαγωγής. Βασική περίπτωση: Για ${\displaystyle n=2}$ η σχέση ισχύει από τον ισοδύναμο ορισμό των σχέσεων γραμμικότητας. Επαγωγική περίπτωση: Έστω ότι ισχύει για ${\displaystyle n=k}$, δηλαδή ${\displaystyle T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k}u_{k})=\alpha _{1}T(u_{1})+\ldots +\alpha _{k}T(u_{k})}$. τότε για ${\displaystyle n=k+1}$ έχουμε ότι ${\displaystyle {\begin{aligned}T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k+1}u_{k+1})&=T((\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k}u_{k})+\alpha _{k+1}u_{k+1})\\&=T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k}u_{k})+\alpha _{k+1}u_{k+1}\\&=T(\alpha _{1}u_{1})+\ldots +T(\alpha _{k}u_{k})+T(\alpha _{k+1}u_{k+1}).\end{aligned}}}$.

Παραδείγματα

• Η συνάρτηση ${\displaystyle T(u)=c\cdot u}$ για ${\displaystyle u\in F}$ είναι γραμμική.
• Η μηδενική συνάρτηση ${\displaystyle T(u)=0_{W}}$ είναι γραμμική.
• Για κάθε πίνακα ${\displaystyle A\in R^{n\times n}}$ η συνάρτηση ${\displaystyle T(u)=Au}$ είναι γραμμική (για ${\displaystyle U=W=\mathbb {R} ^{n}}$).
• Στον διανυσματικό χώρο των ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, η συνάρτηση

${\displaystyle T(f)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt}$

είναι γραμμική.

Απόδειξη

Για κάθε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις ${\displaystyle f,g}$ και σταθερές ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ ισχύει ότι ${\displaystyle T(\alpha f+\beta g)=\int _{a}^{b}(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt=\int _{a}^{b}\alpha f(t)\,dt+\int _{a}^{b}\beta g(t)\,dt=\alpha \int _{a}^{b}f(t)\,dt+\beta \int _{a}^{b}g(t)\,dt=\alpha T(f)+\beta T(g).}$

• Στον διανυσματικό χώρο των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ η συνάρτηση

${\displaystyle T(f)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}f(t)}$

είναι γραμμική.

Απόδειξη

Για κάθε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις ${\displaystyle f,g}$ και σταθερές ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ ισχύει ότι ${\displaystyle T(\alpha f+\beta g)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}(\alpha f+\beta g)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}(\alpha f)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}(\beta g)=\alpha {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {dt} }}+\beta {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {dt} }}=\alpha T(f)+\beta T(g).}$

Πίνακας μετασχηματισμού

Σε κάθε διανυσματικό χώρο ${\displaystyle U}$ πεπερασμένης διάστασης έχουμε ότι κάθε απεικόνιση αντιστοιχεί σε έναν πίνακα.

Έστω ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$ μία βάση του διανυσματικού χώρου ${\displaystyle U}$. Τότε κάθε διάνυσμα ${\displaystyle u\in U}$ μπορεί να γραφτεί ως

${\displaystyle u=u_{1}b_{1}+\ldots +u_{n}b_{n}}$,

για κάποια ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in F}$. Επομένως για έναν μετασχηματισμό ${\displaystyle T:U\to W}$ έχουμε από τις παραπάνω ιδιότητες ότι

${\displaystyle T(u)=T(u_{1}b_{1}+\ldots +u_{n}b_{n})=u_{1}T(b_{1})+\ldots +u_{n}T(b_{n})}$.

Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο πινάκων

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\Big \uparrow }&&{\Big \uparrow }\\T(b_{1})&\cdots &T(b_{n})\\{\Big \downarrow }&&{\Big \downarrow }\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {u} .}$

Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα ${\displaystyle T(b_{1}),\ldots ,T(b_{n})\in W}$ δεν εξαρτώνται από το ${\displaystyle u}$, επομένως ο πίνακας περιγράφει τον μετασχηματισμό ${\displaystyle T}$. Αυτό μας δίνει και έναν τρόπο να υπολογίζουμε τον πίνακα που αντιστοιχεί στον γραμμικό μετασχηματισμό, υπολογίζοντας απλά τον μεταχηματισμό για τα διανύσματα μία βάσης του ${\displaystyle U}$.

Παράδειγμα 1ο: Περιστροφή

Περιστροφή του ${\displaystyle (0,1)}$ κατά γωνία ${\displaystyle \theta }$.

Περιστροφή του ${\displaystyle (1,0)}$ κατά γωνία ${\displaystyle \theta }$.

Για να υπολογίσουμε τον πίνακα περιστροφής κατά γωνία ${\displaystyle \theta }$ από την αρχή των αξόνων, θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό της βάσης

${\displaystyle \left\lbrace {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\rbrace .}$

Με την βοήθεια των σχημάτων έχουμε ότι

${\displaystyle {\begin{aligned}T(0)&\mapsto (\cos \theta ,\sin \theta ),\\T(1)&\mapsto (-\sin \theta ,\cos \theta ).\\\end{aligned}}}$

Επομένως, ο πίνακας περιστροφής δίνεται από

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}{\Big \uparrow }&{\Big \uparrow }\\T(e_{1})&T(e_{2})\\{\Big \downarrow }&{\Big \downarrow }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}$