Δέλτα του Κρόνεκερ

Στα μαθηματικά, το δέλτα του Κρόνεκερ (ή αλλιώς σύμβολο του Κρόνεκερ) είναι η διακριτή εκδοχή της συνάρτησης δέλτα του Ντιράκ.

Αυστηρότερα, το δέλτα του Κρόνεκερ ορίζεται με τον εξής τρόπο:^{[1]:76[2]:8[3]:249}

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0,&{\text{αν }}i\neq j,\\1,&{\text{αν }}i=j,\end{cases}}}$

για φυσικούς αριθμούς ${\displaystyle i,j}$.

Μιγαδική ανάλυση

Στα πλαίσια της μιγαδικής ανάλυσης, το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή του παρακάτω ολοκληρώματος βρόχου:^[4]

${\displaystyle \delta _{mn}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{m-n-1}dz.}$

όπου ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ ακέραιοι και ${\displaystyle i}$ η φανταστική μονάδα. Ο βρόχος ${\displaystyle C}$ ταυτίζεται με τον μοναδιαίο κύκλο.

Γραμμική άλγεβρα

Στα πλαίσια της γραμμικής άλγεβρας, το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή ενός συμμετρικού πίνακα διάστασης ${\displaystyle N\times N}$ όπου ${\displaystyle N}$ είναι ο συνολικός αριθμός των (θετικών) ακεραίων τιμών που μπορούν να πάρουν οι δείκτες.

Συγκεκριμένα, για ${\displaystyle i,j=1,2,3}$ τότε το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή ενός πίνακα ${\displaystyle 3\times 3}$:

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Στην αναπαράσταση πίνακα λοιπόν, το δέλτα του Κρόνεκερ ταυτίζεται με τον μοναδιαίο πίνακα.

Ιδιότητες

Σε τρεις διαστάσεις (${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$) το δέλτα του Κρόνεκερ παρουσιάζει τις παρακάτω ιδιότητες:^[4]

• ${\displaystyle \delta _{ii}=3}$
• ${\displaystyle \delta _{ij}\epsilon _{ijk}=0}$
• ${\displaystyle \epsilon _{ipq}\epsilon _{jpq}=2\delta _{ij}}$
• ${\displaystyle \epsilon _{ijk}\epsilon _{pqk}=\delta _{ip}\delta _{jq}-\delta _{iq}\delta _{jp}}$

όπου ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ το σύμβολο μετάθεσης. Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις έγινε χρήση της σύμβασης άθροισης του Αϊνστάιν.

Πηγές

1. Σταματιάδης, Σταμάτης (2022). «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά: Σημειώσεις Διαλέξεων» (PDF). Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 26 Σεπτεμβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 18 Αυγούστου 2022. 
2. Μερκουράκης, Σοφοκλής Κ. (2011). «Σημειώσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙΙ» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 18 Αυγούστου 2022. 
3. Riley, K. F. (2006). Mathematical methods for physics and engineering (3rd έκδοση). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521679718. 
4. Wolfram Mathworld. «Kronecker Delta». Ανακτήθηκε στις 18 Αυγούστου 2022.