Δεκαπεντάγωνο

Στη γεωμετρία, το δεκαπεντάγωνο (από τις ελληνικές λέξεις δεκαπέντε και γωνία) είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο σχήμα με 15 πλευρές και 15 κορυφές. Οι εσωτερικές γωνίες οποιουδήποτε κυρτού δεκαπενταγώνου έχουν άθροισμα 2340 μοίρες (°). Το σύμβολο Schläfli του δεκαπενταγώνου είναι {15}.

Κανονικό δεκαπεντάγωνο

Συνήθως ο όρος δεκαπεντάγωνο αναφέρεται σε ένα κανονικό δεκαπεντάγωνο, στο οποίο όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Σε ένα τέτοιο δεκαπεντάγωνο, οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες με 156° η καθεμιά.

Το εμβαδό (E) ενός κανονικού δεκαπενταγώνου με μήκος πλευράς α δίνεται από τη σχέση:

${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {15}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{15}}\\&={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\\&\simeq 17,6424\,a^{2}.\end{aligned}}}$

Κατασκευή

Το κανονικό δεκαπεντάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη:

Κατασκευή ενός κανονικού δεκαπενταγώνου

Η κατασκευή ενός κανονικού δεκαπενταγώνου αποτελεί την Πρόταση 16 (XVI) του Τέταρτου Βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη^[1].

Δεκαπενταγράμματα

Υπάρχουν τρία κανονικά αστεροειδή πολύγωνα, τα {15/2}, {15/4}, {15/7}, που κατασκευάζονται από τις ίδιες 15 κορυφές ενός κανονικού δεκαπενταγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε δεύτερη, τέταρτη ή έβδομη κορυφή, αντιστοίχως.

Πολύγωνα Petrie

Το κανονικό δεκαπεντάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για ένα πολύτοπο περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθεται παρακάτω σε ορθογώνια προβολή:

14-simplex (14D)

Παραπομπές

1. William Dunham: Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics, Penguin 1991, ISBN 014014739X, σελ. 65.